Summierbare Familie

Eine summierbare Familie ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Er dient der Verallgemeinerung des Reihenbegriffs für beliebige Familien in einem Vektorraum.

Formale Definition

Sei ein normierter Vektorraum. Sei eine Indexmenge und eine Familie. Sei .

Die Familie heißt summierbar zu genau dann, wenn

gilt. Wenn sich also zu jedem eine endliche Teilmenge finden lässt so, dass für alle endlichen Obermengen , die in liegen, die Summe in der Norm von weniger als abweicht.

Ähnlich wie bei Reihen lässt sich auch absolute Summierbarkeit definieren. Die Familie heißt absolut summierbar zu genau dann, wenn summierbar zu einem ist.[1]

Letztlich heißt eine Familie Cauchy-summierbar genau dann, wenn

gilt.[1]

Bemerkungen

  • Absolute Summierbarkeit impliziert Summierbarkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
  • Ist eine Familie summierbar, ist auch jede Teilfamilie summierbar. Summierbarkeit ist also ein stärkeres Kriterium als einfache Konvergenz von Reihen.
  • Aus Summierbarkeit folgt Cauchy-Summierbarkeit. In Banachräumen gilt die Umkehrung. Cauchy-Summierbarkeit ist häufig einfacher zu prüfen.
  • Sei summierbar zu und summierbar zu und ein Skalar. Dann gilt .
  • Der Träger einer summierbaren Familie ist höchstens abzählbar.

Einzelnachweise

  1. a b Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Oldenbourg, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0, S. 230.