Finaltopologie

Als Finaltopologie bezüglich einer Abbildungsfamilie bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Topologie die feinste Topologie auf einer Menge ${\displaystyle X}$, die diese Familie von Abbildungen aus anderen topologischen Räumen nach ${\displaystyle X}$ stetig macht. Die Finaltopologie entsteht also durch „Vorwärtsübertragung“ der auf den Urbildräumen vorhandenen topologischen Strukturen auf die Menge ${\displaystyle X}$. Dies ist die Anwendung eines allgemeineren Konzepts aus der Kategorientheorie auf topologische Räume, mit der wichtige „natürliche Räume“ wie Quotienten- und Summenräume in einen gemeinsamen Rahmen gestellt werden können. Je nach Kontext spricht man dann auch von Quotiententopologie bzw. Summentopologie.

Definition

Gegeben ist eine Menge ${\displaystyle X}$, eine Familie von topologischen Räumen ${\displaystyle (Y_{i},T_{i})}$ und eine Familie von Abbildungen ${\displaystyle f_{i}\colon Y_{i}\to X}$. Eine Topologie ${\displaystyle S}$ auf ${\displaystyle X}$ heißt Finaltopologie bezüglich der Familie ${\displaystyle (Y_{i},T_{i},f_{i})}$ wenn sie eine der folgenden gleichwertigen Eigenschaften hat:

1. ${\displaystyle S}$ ist die feinste Topologie auf ${\displaystyle X}$, bezüglich der alle Abbildungen ${\displaystyle f_{i}}$ stetig sind.
2. Eine Teilmenge ${\displaystyle O}$ von ${\displaystyle X}$ ist offen (also in ${\displaystyle S}$) genau dann, wenn alle ihre Urbilder ${\displaystyle f_{i}^{-1}(O)}$ in den jeweiligen Urbildräumen offen sind.
3. Eine Funktion ${\displaystyle g}$ von ${\displaystyle X}$ in einen topologischen Raum ${\displaystyle Z}$ ist genau dann stetig, wenn ${\displaystyle g\circ f_{i}}$ stetig ist für jedes ${\displaystyle f_{i}}$ der Familie.

Bemerkungen

Die drei Formulierungen der Definition beleuchten unterschiedliche Aspekte der Finaltopologie:

1. Hier wird sie als Infimum gewisser Topologien im Verband aller Topologien auf ${\displaystyle X}$ angesehen: Durch jede einzelne Abbildung ${\displaystyle f_{i}}$ wird aus dem Urbildraum ${\displaystyle Y_{i}}$ eine topologische Struktur ${\displaystyle S_{i}}$ auf ${\displaystyle X}$ übertragen und die Finaltopologie ${\displaystyle S}$ ist der Durchschnitt all dieser Topologien. Mit dieser Definition lässt sich die Existenz der Finaltopologie beweisen.
2. Diese Definition ist konstruktiv. Mit ihr kann man für beliebige Teilmengen von ${\displaystyle X}$ entscheiden, ob sie in der Finaltopologie offen sind. Hieraus ergibt sich leicht die Eindeutigkeit dieser Topologie.
3. Die abstrakte Charakterisierung rechtfertigt die Bezeichnung „Final“-Topologie und gestattet es, diese Strukturen im allgemeineren Rahmen der Kategorientheorie zu betrachten. Die Initialtopologie kann durch die hierzu duale Eigenschaft charakterisiert werden.

Beispiele

• Die Quotiententopologie ist die Finaltopologie bezüglich der kanonischen Projektion auf den Quotientenraum.
• Der topologische Summenraum einer Familie ${\displaystyle X_{i}}$ von topologischen Räumen ist die Finaltopologie auf der disjunkten Vereinigungsmenge der Familie bezüglich der kanonischen Inklusionsabbildungen. In diesem Fall nennt man die Finaltopologie auch die Summentopologie.
• Die Kombination der Summen- und Quotientenraumbildung, also das „Verkleben“ mehrerer topologischer Räume, kann mit der Finaltopologie in einem Schritt vorgenommen werden.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2. neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1979, ISBN 3-540-09799-6 (Hochschultext).