Sudanfunktion

Die Sudanfunktion ist eine rekursive berechenbare Funktion, die total μ-rekursiv, jedoch nicht primitiv rekursiv ist, was sie mit der bekannteren Ackermannfunktion gemeinsam hat.

Sie wurde 1927 von dem rumänischen Mathematiker Gabriel Sudan publiziert, der wie Wilhelm Ackermann ein Schüler David Hilberts war.

Für ${\displaystyle x,y,n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt:

${\displaystyle F_{0}(x,y)=x+y,\,}$

${\displaystyle F_{n+1}(x,0)=x,\ n\geq 0\,}$

${\displaystyle F_{n+1}(x,y+1)=F_{n}(F_{n+1}(x,y),F_{n+1}(x,y)+y+1),\ n\geq 0.\,}$

1926 vermutete David Hilbert, dass jede berechenbare Funktion primitiv-rekursiv sei. Dies wurde durch Wilhelm Ackermann und Gabriel Sudan – beides seine Schüler – mittels unterschiedlichen Funktionen, die zeitnah (Sudan 1927 und Ackermann 1928) publiziert wurden, widerlegt. Die Sudanfunktion und die Ackermannfunktion waren so die ersten veröffentlichten, nicht primitiv rekursiven Funktionen.

F₀ lässt sich geschlossen darstellen als:  F₀(x, y) = x + y

F₁ lässt sich geschlossen darstellen als:  F₁(x, y) = 2^y · (x + 2) − y − 2

F₂ lässt sich nicht mehr allgemein geschlossen darstellen.

Für gegebene y lässt es sich geschlossen darstellen, wobei die Ausdrücke schnell längere Ausdrücke werden.

F₃ lässt sich nicht mehr geschlossen darstellen.

• Gabriel Sudan: Sur le nombre transfini ω^ω. Bulletin Math. Soc. Roumaine des sciences 30, S. 11–30 (1927). JFM review
• Wilhelm Ackermann: Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen. Mathematische Annalen 99, S. 118–133 (1928). JFM review
• Cristian S. Calude, Solomon Marcus, Ionel Tevy: The first example of a recursive function which is not primitive recursive. Historia Mathematica 6 (1979), no. 4, S. 380–384 doi:10.1016/0315-0860(79)90024-7