Sturm-Liouville-Problem

Ein klassisches Sturm-Liouville-Problem (nach Charles-François Sturm (1803–1855) und Joseph Liouville (1809–1882)) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis: Man betrachte die Differentialgleichung 2. Ordnung:^[1]

${\displaystyle -\left(p\cdot \psi '\right)'+q\cdot \psi =\lambda \cdot w\cdot \psi }$

wobei ${\displaystyle p,q,w}$ Koeffizientenfunktionen sind. Finde alle komplexen Zahlen ${\displaystyle \lambda }$, für die die Differentialgleichung auf dem Intervall ${\displaystyle (a,b)}$ eine Lösung besitzt, die den Randbedingungen

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha )\psi (a)&+\sin(\alpha )p(a)\psi '(a)=0\\\cos(\beta )\psi (b)&+\sin(\beta )p(b)\psi '(b)=0\end{aligned}}}$

genügt (${\displaystyle \alpha ,\beta \in [0,\pi )}$).

Führt man den linearen Operator der Form

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)}$

ein, den Sturm-Liouville-Operator, so kann die Eigenwertgleichung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\psi =\lambda \psi }$ mithilfe von Methoden aus der Funktionalanalysis (Spektraltheorie) im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion ${\displaystyle w}$ quadratintegrierbaren Funktionen behandelt werden.

Ist das Intervall kompakt und sind die Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle w,p^{-1},q}$ integrierbar, so spricht man von einem regulären Sturm-Liouville-Problem. Ist das Intervall unbeschränkt oder sind die Koeffizientenfunktionen nur lokal integrierbar, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem.

Motivation

Differentialgleichungen in Form eines Sturm-Liouville-Problems ergeben sich, wenn man partielle Differentialgleichungen mithilfe eines Separationsansatzes untersucht. Betrachtet man zum Beispiel die eindimensionale Wellengleichung

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}}}$

so führt ein Separationsansatz der Form

${\displaystyle y(t,x)=f(x)\cdot g(t)}$

auf ein Sturm-Liouville-Problem für die beiden Funktionen f und g. Genauer führt Einsetzen des Ansatzes in die Wellengleichung und Separation der Variablen auf die beiden Gleichungen

${\displaystyle f''(x)={\frac {\lambda }{c^{2}}}f(x)}$

${\displaystyle g''(t)=\lambda g(t)}$

Diese Differentialgleichungen bilden (gemeinsam mit noch anzugebenden Randbedingungen) jeweils ein Sturm-Liouville-Problem. Für diese einfachen Beispiele ist die Lösung des Problems weiter unten angegeben.

Kompliziertere partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung führen nach Separation der Variablen auf kompliziertere Sturm-Liouville-Probleme, deren Eigenwerte und Eigenfunktionen sich in der Regel nicht mehr oder nur schwerlich analytisch berechnen lassen. Schafft man es jedoch, das zur partiellen Differentialgleichung zugehörige Sturm-Liouville-Problem zu lösen und die zugehörigen Eigenfunktionen des Sturm-Liouville-Operators zu bestimmen, so können diese zur Lösung der partiellen Differentialgleichung verwendet, indem man eine Reihe von Eigenfunktionen als Ansatz wählt.

Natürlich gibt es auch Differentialgleichungen, die schon von Haus aus die Form eines Sturm-Liouville-Problems haben. Zum Beispiel ist die zeitunabhängige, eindimensionale Schrödingergleichung

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right)\psi (x)=E\psi (x)}$

mit zweifach differenzierbarem ${\displaystyle \psi \colon [a,b]\to \mathbb {C} }$ und der Randbedingung ${\displaystyle \psi (a)=\psi (b)=0}$ ein Sturm-Liouville-Problem, bei dem bloß ${\displaystyle p={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}}$ sowie ${\displaystyle q=V(x)}$ und ${\displaystyle w=1}$ gesetzt wurden.

Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

Die Eigenwertgleichung

${\displaystyle -(p\cdot \psi ')'+q\cdot \psi =\lambda \cdot w\cdot \psi }$

mit integrierbaren reellen Funktionen ${\displaystyle w(x)>0,p(x)^{-1}>0,q(x)}$, zusammen mit Randbedingungen der Form

${\displaystyle \cos(\alpha )\psi (a)+\sin(\alpha )p(a)\psi '(a)=0,\quad \cos(\beta )\psi (b)+\sin(\beta )p(b)\psi '(b)=0,\qquad \alpha ,\beta \in [0,\pi ),}$

nennt man ein reguläres Sturm-Liouville-Problem über dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$, wenn dieses Intervall endlich ist.

Im Fall ${\displaystyle \psi (a)=\psi (b)=0}$ spricht man von Dirichlet-Randbedingungen und im Fall ${\displaystyle \psi '(a)=\psi '(b)=0}$ von Neumann-Randbedingungen, wobei die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung mit den Randbedingungen sichergestellt wird.

Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem gilt, dass es eine abzählbare Folge von reellen Eigenwerten gibt, die gegen ${\displaystyle +\infty }$ divergiert:

${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots \to \infty .}$

Die Eigenwerte verhalten sich asymptotisch (Weyl-Asymptotik) wie

${\displaystyle \lambda _{n}=\pi ^{2}\left(\int _{a}^{b}{\sqrt {\frac {w(x)}{p(x)}}}\mathrm {d} x\right)^{-2}n^{2}+O(n).}$

Die zugehörigen Eigenfunktionen ${\displaystyle \psi _{n}}$ bilden eine Orthonormalbasis im Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)}$ der bezüglich der Gewichtsfunktion ${\displaystyle w}$ quadratintegrierbaren Funktionen.

Eigenschaften

Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem ist man daran interessiert, das Verhalten der Eigenfunktionen zu beschreiben, ohne deren genaue Kenntnis zu haben. Insofern geben die nachfolgenden Sätze, die teilweise auf Charles-François Sturm zurückgehen, einen Überblick der Eigenschaften der Lösungen des Sturm-Liouville-Problems.

Dazu wird die homogene Differentialgleichung ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}\psi ={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)\psi =0}$ für ${\displaystyle w=1}$ betrachtet und nachfolgende Anforderungen an die Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle p,q}$ gestellt:

• ${\displaystyle p\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle p>0}$,
• ${\displaystyle q\in C^{0}((a,b),\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle q>0}$.^[2]

Darüberhinausgehende Anforderungen sind in den entsprechenden Sätzen formuliert.

Amplitudensatz

Da die Amplituden den Absolutbetrag der lokalen Extremwerte angeben, wird mit dem nachfolgenden Satz das Verhalten der Amplituden aufeinanderfolgender Nullstellen beschrieben.

Abweichend von den eingangs genannten Voraussetzungen sei ${\displaystyle p,q\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle p,q}$ monoton wachsend oder monoton fallend, sowie auf einem geeigneten Intervall ${\displaystyle (c,d)\subseteq (a,b)}$ sei ${\displaystyle \phi }$ eine nicht triviale Lösung von ${\displaystyle {\mathcal {L}}\phi =0}$. Für die Amplituden zweier aufeinanderfolgender Extremstellen ${\displaystyle c<x_{k}<x_{k+1}<d}$ von ${\displaystyle \phi }$ gilt:

${\displaystyle |\phi (x_{k+1})|\geq |\phi (x_{k})|{\text{ wenn }}(pq)'<0}$ und

${\displaystyle |\phi (x_{k+1})|\leq |\phi (x_{k})|{\text{ wenn }}(pq)'>0}$.

Beweis

Es sei ${\displaystyle \phi }$ eine nicht-triviale Lösung und

${\displaystyle \psi =\phi ^{2}+{\frac {1}{pq}}\left(p\phi '\right)^{2}}$.

Dabei ist ${\displaystyle \psi }$ keine Lösung der Sturm-Liouville-Differentialgleichung, jedoch eine Funktion die mit denselben Extremstellen und Nullstellen ausgestattet ist wie ${\displaystyle \phi }$. Mit Hilfe dieser Konstruktion folgt mit der Sturm-Liouville-Differentialgleichung ${\displaystyle (p\phi ')'=-q\phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi '&=2\phi \phi '+{\frac {1}{pq}}2p\phi '\left(p\phi '\right)'-{\frac {(pq)'}{(pq)^{2}}}\left(p\phi '\right)^{2}\\&=2\phi \phi '-2\phi \phi '-{\frac {(pq)'}{(pq)^{2}}}\left(p\phi '\right)^{2}\\&=-(pq)'\left({\frac {\phi '}{q}}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Wird zudem berücksichtigt, dass an jedem Extrempunkt ${\displaystyle \phi '(x_{k+1})=\phi '(x_{k})=0}$ ist, so gilt für ein ${\displaystyle \xi }$ mit ${\displaystyle c<x_{k}\leq \xi \leq x_{k+1}<d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi '(\xi )\geq 0&{\text{ wenn }}(p(\xi )q(\xi ))'<0\\\psi '(\xi )\leq 0&{\text{ wenn }}(p(\xi )q(\xi ))'>0.\end{aligned}}}$

Demzufolge wird die Steigung von ${\displaystyle \psi }$ beeinflusst durch den Wert der Ableitung von ${\displaystyle (pq)'}$. Da sich die Steigung von ${\displaystyle \psi }$ auf ${\displaystyle \phi ^{2}}$ vererbt, erhält man für den Betrag:

${\displaystyle |\phi (x_{k+1})|\geq |\phi (x_{k})|{\text{ wenn }}(pq)'<0}$ und

${\displaystyle |\phi (x_{k+1})|\leq |\phi (x_{k})|{\text{ wenn }}(pq)'>0}$.

Oszillationssatz

Der Oszillationssatz besagt für ${\displaystyle {\mathcal {L}}\psi =0}$, wenn neben den eingangs beschriebenen Anforderungen für ${\displaystyle p,q}$ zudem gilt:

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}{\frac {1}{p(x)}}\mathrm {d} x}$ und ${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}q(x)\mathrm {d} x}$ sind divergent,

dann ist auf dem Intervall ${\displaystyle (a,\infty )}$ jede nicht-triviale Lösung oszillatorisch.

Zudem gilt im Falle von Dirichlet-Randbedingungen, dass jede ${\displaystyle n}$-te Eigenfunktion ${\displaystyle \psi _{n}}$ genau ${\displaystyle n-1}$ Nullstellen im Intervall ${\displaystyle (a,b)}$ hat.

Beweis

Seien ${\displaystyle \phi }$ ebenso wie ${\displaystyle \psi :=p\phi '}$ nicht-triviale Lösungen der homogenen Differentialgleichung. Mit ${\displaystyle \phi '={\tfrac {1}{p}}\psi }$ und wegen ${\displaystyle -(p\phi ')'+q\phi =0}$ ist ${\displaystyle \psi '=(p\phi ')'=q\phi }$ und somit:

(1)${\displaystyle \quad {\begin{pmatrix}\phi \\\psi \end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {1}{p}}\psi \\q\phi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{p}}\\q&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\phi \\\psi \end{pmatrix}}}$.

Dieses lineare Differentialgleichungssystem hat nur dann nicht-triviale Lösungen, wenn für jedes ${\displaystyle \xi \geq a}$ gilt ${\displaystyle {\Big (}{\begin{smallmatrix}\phi (\xi )\\\psi (\xi )\end{smallmatrix}}{\Big )}={\Big (}{\begin{smallmatrix}\phi (\xi )\\p\phi '(\xi )\end{smallmatrix}}{\Big )}\neq {\big (}{\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}}{\big )}}$, da sonst ${\displaystyle \phi (\xi )=\phi (\xi )'=0}$ und daher ${\displaystyle \phi (\xi )\equiv 0}$ sein müsste.

Gesucht sind daher oszillatorische Lösungen, die mittels der Prüfer-Transformation in ebenen Polarkoordinaten erhalten werden:

(2)${\displaystyle \quad {\begin{pmatrix}\phi (x)\\\psi (x)\end{pmatrix}}=\rho (x){\begin{pmatrix}\sin \vartheta (x)\\\cos \vartheta (x)\end{pmatrix}}}$.

Dabei ist ${\displaystyle \rho (x)={\big (}\phi ^{2}(x)+\psi ^{2}(x){\big )}^{1/2}}$ und die dazugehörige Argumentfunktion lautet:

${\displaystyle \vartheta (x)=\arctan {\tfrac {\phi (x)}{\psi (x)}}\quad }$ bzw. ${\displaystyle \quad \vartheta (x)=\operatorname {arccot} {\tfrac {\psi (x)}{\phi (x)}}}$.^[3]

Behauptung: Falls ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\vartheta (x)\to \infty }$, dann haben ${\displaystyle \sin \vartheta (x)}$ ebenso wie ${\displaystyle \phi (x)}$ unendlich viele Nullstellen.

Begründung: Aus (1) und (2) folgt

(3)${\displaystyle \quad \phi '\;{\stackrel {\mathrm {(2)} }{=}}{\big (}\rho \sin \vartheta {\big )}'=\rho '\sin \vartheta +\rho \vartheta '\cos \vartheta \;{\stackrel {\mathrm {(1)} }{=}}{\frac {\rho }{p}}\cos \vartheta }$ und

(4)${\displaystyle \quad \psi '\;{\stackrel {\mathrm {(2)} }{=}}{\big (}\rho \cos \vartheta {\big )}'=\rho '\cos \vartheta -\rho \vartheta '\sin \vartheta \;{\stackrel {\mathrm {(1)} }{=}}-\rho q\sin \vartheta }$.

Wird die Gleichung (3) mit ${\displaystyle \cos \vartheta }$ und Gleichung (4) mit ${\displaystyle -\sin \vartheta }$ multipliziert und addiert, so ergibt sich:

${\displaystyle \rho \vartheta '{\big (}\cos ^{2}\vartheta +\sin ^{2}\vartheta {\big )}={\frac {\rho }{p}}\cos ^{2}\vartheta +\rho q\sin ^{2}\vartheta >0}$, bzw.

(5)${\displaystyle \quad \vartheta '={\frac {1}{p}}\cos ^{2}\vartheta +q\sin ^{2}\vartheta >0}$,

${\displaystyle \vartheta }$ ist also monoton wachsend.

Bleibt noch zu zeigen, dass ${\displaystyle \vartheta }$ unbeschränkt ist.

Wäre ${\displaystyle \vartheta }$ beschränkt, so existierten die Grenzwerte ${\displaystyle \alpha :=\lim _{x\to \infty }\cos ^{2}\vartheta (x)}$ und ${\displaystyle \beta :=\lim _{x\to \infty }\sin ^{2}\vartheta (x)}$ und es wäre ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$. Insbesondere ist ${\displaystyle \alpha >0}$ oder ${\displaystyle \beta >0}$.

Sei im Folgenden ${\displaystyle x_{0}>a}$ so groß, dass ${\displaystyle \cos ^{2}\vartheta (x)\geq {\tfrac {\alpha }{2}},\;\sin ^{2}\vartheta (x)\geq {\tfrac {\beta }{2}}}$ für alle ${\displaystyle x>x_{0}}$. Dann liefert Gleichung (5) nach Integration für alle ${\displaystyle x>x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)-\vartheta (x_{0})&=\int _{x_{0}}^{x}\vartheta '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{x_{0}}^{x}{\bigg (}{\frac {1}{p(t)}}\underbrace {\cos ^{2}\vartheta (x)} _{\geq \alpha /2}+q(t)\underbrace {\sin ^{2}\vartheta (x)} _{\geq \beta /2}{\bigg )}\mathrm {d} t\\&\geq {\frac {\alpha }{2}}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{p(t)}}\mathrm {d} t+{\frac {\beta }{2}}\int _{x_{0}}^{x}q(t)\mathrm {d} t\quad {\xrightarrow[{x\to \infty }]{\quad }}\infty \end{aligned}}}$

einen Widerspruch zur Voraussetzung. ${\displaystyle \vartheta }$ ist somit unbeschränkt.

Orthogonale Relation

Erfüllt der Sturm-Liouville-Operator ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)}$ bei geeignetem ${\displaystyle w,p,q}$ und Eigenfunktion ${\displaystyle \psi _{n}}$ die Sturm-Louiville-Differentialgleichung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\psi _{n}=\lambda \psi _{n}}$, dann bilden die Eigenfunktionen ${\displaystyle \psi _{n}}$ eine Orthogonalbasis im Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)}$ der quadratintegrierbaren Funktionen. Demzufolge gilt für ${\displaystyle \psi _{n}\neq \psi _{m}}$

${\displaystyle \langle \psi _{n},\psi _{m}\rangle =\int _{a}^{b}\psi _{n}\psi _{m}w\mathrm {d} x=0.}$

Beweis

Mit dem Sturm-Liouville-Operator ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)}$ ergeben sich für die Eigenfunktionen ${\displaystyle \psi _{n},\psi _{m}}$ folgende Ausgangsgleichungen:

(1) ${\displaystyle \quad \psi _{m}{\mathcal {L}}\psi _{n}=\psi _{m}{\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)\psi _{n}=\lambda _{n}\psi _{m}\psi _{n}}$

und

(2) ${\displaystyle \quad \psi _{n}{\mathcal {L}}\psi _{m}=\psi _{n}{\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)\psi _{m}=\lambda _{m}\psi _{n}\psi _{m}}$

Wird Gleichung (1) von Gleichung (2) subtrahiert, so ergeben sich die beiden Gleichungen:

(3) ${\displaystyle \quad \psi _{n}{\mathcal {L}}\psi _{m}-\psi _{m}{\mathcal {L}}\psi _{n}=\psi _{n}{\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)\psi _{m}-\psi _{m}{\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)\psi _{n}}$

und

(4) ${\displaystyle \quad \psi _{n}{\mathcal {L}}\psi _{m}-\psi _{m}{\mathcal {L}}\psi _{n}=(\lambda _{m}-\lambda _{n})\psi _{m}\psi _{n}}$.

Mittels der Lagrange-Identität für Randwertprobleme lässt sich Gleichung (3) zusammenfassen zu:

(5) ${\displaystyle \quad {\begin{aligned}\psi _{n}{\mathcal {L}}\psi _{m}-\psi _{m}{\mathcal {L}}\psi _{n}&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}p(\psi _{n}\psi _{m}'-\psi _{m}\psi _{n}'){\bigg )}\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\psi _{n},\psi _{m}){\bigg )}\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle W(\psi _{n},\psi _{m})}$ die Wronski-Determinante der Funktionen ${\displaystyle \psi _{n},\psi _{m}}$ bedeutet.

Zur Berechnung der Wronski-Determinante mittels der Abelschen Identität wird die Differentialgleichung ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}\psi =\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)\psi =-p\psi ''-p'\psi '+q\psi =0}$ in der Darstellung ${\displaystyle \psi ''-a_{1}\psi '-a_{0}\psi =0}$ betrachtet, mit ${\displaystyle a_{0}={\tfrac {q}{p}}\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle a_{1}=-{\tfrac {p'}{p}}\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )}$. Die Koeffizientenmatrix des Fundamentalsystems lautet dann ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\{\tfrac {q}{p}}&-{\tfrac {p'}{p}}\end{smallmatrix}}\right)}$ und deren Spur ist ${\displaystyle \mathrm {Spur} {\Bigg (}\left({\begin{smallmatrix}0&1\\{\tfrac {q}{p}}&-{\tfrac {p'}{p}}\end{smallmatrix}}\right){\Bigg )}=-{\frac {p'}{p}}}$. Somit lautet die Abelsche Identität:

${\displaystyle W(\psi _{n},\psi _{m})(x)=W(\psi _{n},\psi _{m})(a)\ \exp \left(-\int _{a}^{x}{\frac {p'(\xi )}{p(\xi )}}\,\mathrm {d} \xi \right)}$.

Sei o.B.d.A. ${\displaystyle p>0}$ monoton wachsend und daher ${\displaystyle p'>0}$ so lässt sich das Integral darstellen durch ${\displaystyle \textstyle -\int _{a}^{x}{\frac {p'(\xi )}{p(\xi )}}\,\mathrm {d} \xi =-{\big [}\ln |p(\xi )|{\big ]}_{a}^{x}}$ und demnach

${\displaystyle W(\phi ,\psi )(x)=W(\phi ,\psi )(a)\ \exp \left(-{\bigg [}\ln {\big |}p(\xi ){\big |}{\bigg ]}_{a}^{x}+{\widetilde {C}}\right)}$.

Durch die Wahl der Integrationskonstanten zu ${\displaystyle {\widetilde {C}}=-\ln p(a)}$ ergibt sich

${\displaystyle W(\phi ,\psi )(x)=W(\phi ,\psi )(a)\exp \left(-\ln {\big |}p(x){\big |}\right)=W(\phi ,\psi )(a){\frac {1}{p(x)}}}$

und Gleichung (5) nimmt folgende Gestalt an:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{n}{\mathcal {L}}\psi _{m}-\psi _{m}{\mathcal {L}}\psi _{n}&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\psi _{n},\psi _{m})(a){\frac {1}{p}}{\bigg )}\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}W(\psi _{n},\psi _{m})(a){\bigg )}\end{aligned}}}$

Nach Umformen und Trennung der Variablen lautet die Gleichung nun:

${\displaystyle -w{\Big (}\psi _{n}{\mathcal {L}}\psi _{m}-\psi _{m}{\mathcal {L}}\psi _{n}{\Big )}\mathrm {d} x=\mathrm {d} {\Big (}W(\psi _{n},\psi _{m})(a){\Big )}}$.

Auf beiden Seiten der Gleichung stehen nun eindimensionale Pfaffsche Formen und da ${\displaystyle W(\psi _{n},\psi _{m})(a)}$ eine konstante Funktion ist, gilt ${\displaystyle \mathrm {d} {\Big (}W(\psi _{n},\psi _{m})(a){\Big )}=0}$. Für die Berechnung der verbleibenden Pfaffschen Form ist eine geeignete Parametrisierung ${\displaystyle \varphi (t)=t,\varphi (t_{0})=a,\varphi (t_{1})=b,{\dot {\varphi }}(t)=1}$ zu wählen. Das Integral lautet nun:

${\displaystyle \int _{\varphi }\omega =\int _{a}^{b}\omega _{\varphi (t)}({\dot {\varphi }}(t))\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}w{\Big (}\psi _{n}{\mathcal {L}}\psi _{m}-\psi _{m}{\mathcal {L}}\psi _{n}{\Big )}\mathrm {d} t=0}$.

Demnach verschwindet das Integral längs dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$, so dass unter Verwendung von Gleichung (4) gilt:

${\displaystyle 0=(\lambda _{m}-\lambda _{n})\int _{a}^{b}w\psi _{m}\psi _{n}\mathrm {d} t}$

Diese Bedingung kann jedoch nur erfüllt werden, wenn:

${\displaystyle \langle \psi _{n},\psi _{m}\rangle =\langle \psi _{m},\psi _{n}\rangle =0}$.

Vergleichssatz

Der Sturmsche Vergleichssatz liefert einen Zusammenhang zwischen den beiden Differentialgleichungen

(1)${\displaystyle \quad {\mathcal {L}}_{1}\phi =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}p(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\phi (x){\bigg )}+q_{1}(x)\phi (x)=0\qquad }$

(2)${\displaystyle \quad {\mathcal {L}}_{2}\psi =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}p(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\psi (x){\bigg )}+q_{2}(x)\psi (x)=0}$,

wobei für ${\displaystyle x\in (c,d)\subseteq (a,b)}$ vorausgesetzt wird

${\displaystyle p(x)>0}$ monoton wachsend

${\displaystyle q_{1}(x)\geq q_{2}(x)>0}$ monoton wachsend.

Wenn ${\displaystyle \phi }$ eine nicht triviale Lösung der Differentialgleichung ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}\phi }$ und ${\displaystyle \psi }$ eine nicht triviale Lösung von ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}\psi }$ ist, dann liegen im Intervall ${\displaystyle (c,d)}$ zwischen zwei Nullstellen von ${\displaystyle \phi }$ eine Nullstelle von ${\displaystyle \psi }$.

Beweis

Als Ausgangspunkt für den nachfolgenden Beweis wird die Lagrange-Identität für Randwertprobleme betrachtet. Dazu wird Gleichung (1) von links mit ${\displaystyle \psi }$ multipliziert und von Gleichung (2), welche ebenfalls von links mit ${\displaystyle \phi }$ multipliziert wird, subtrahiert und so eine Lagrange-Identität erhalten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}_{2}\psi -\psi {\mathcal {L}}_{1}\phi &=\phi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}-p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\psi {\bigg )}+\phi q_{2}\psi -\psi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}-p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\phi {\bigg )}-\psi q_{1}\phi \\&=\phi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}-p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\psi {\bigg )}-\psi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}-p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\phi {\bigg )}+{\big (}q_{2}-q_{1}{\big )}\phi \psi \\&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}+{\big (}q_{2}-q_{1}{\big )}\phi \psi ,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle W(\phi ,\psi )=\left|{\begin{smallmatrix}\phi &\psi \\\phi '&\psi '\end{smallmatrix}}\right|}$ die Wronski-Determinante der Funktionen ${\displaystyle \phi ,\psi }$ angibt. Werden nun für diese Gleichung die Paffschen Formen gebildet, wobei eine geeignete Parametrisierung durch ${\displaystyle \varphi (t)=t,\varphi (t_{0})=a,\varphi (t_{1})=b,{\dot {\varphi }}(t)=1}$ gegeben ist und demzufolge die Variable ${\displaystyle x}$ durch den Parameter ${\displaystyle t}$ zu ersetzen ist, so nimmt die Differentialgleichung folgende Integraldarstellung an:

${\displaystyle \underbrace {\int _{c}^{d}{\Big \langle }\phi {\mathcal {L}}_{2}\psi -\psi {\mathcal {L}}_{1}\phi ,\,{\dot {\varphi }}(t){\Big \rangle }\mathrm {d} t} _{\text{Teil 1}}=\underbrace {-\int _{c}^{d}{\Big \langle }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}pW(\phi ,\psi ){\Big )},\,{\dot {\varphi }}(t){\Big \rangle }\mathrm {d} t} _{\text{Teil 2}}+\underbrace {\int _{c}^{d}{\Big \langle }{\big (}q_{2}-q_{1}{\big )}\phi \psi ,\,{\dot {\varphi }}(t){\Big \rangle }\mathrm {d} t} _{\text{Teil 3}}}$.

Teil 1

Da gemäß Amplitudensatz ${\displaystyle \phi ,\psi }$ beschränkt sind und ${\displaystyle {\mathcal {L_{1}}},{\mathcal {L_{2}}}}$ lineare Operatoren sind, muss gelten

${\displaystyle \int _{c}^{d}{\Big \langle }\phi (t){\mathcal {L}}_{2}\psi (t)-\psi (t){\mathcal {L}}_{1}\phi (t),\,{\dot {\varphi }}(t){\Big \rangle }\mathrm {d} t={\widetilde {C}}}$.

Teil 2

Mit der Abelschen Identität ergibt sich, wie im Abschnitt orthogonale Relation gezeigt, folgender Zusammenhang:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}p(t)W(\phi ,\psi )(t){\Big )}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}p(t)W(\phi ,\psi )(c){\frac {1}{p(t)}}{\Big )}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}W(\phi ,\psi )(c){\Big )}=0}$. Somit lautet das Integral nun:

${\displaystyle -\int _{c}^{d}{\Big \langle }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}p(t)W(\phi ,\psi )(t){\Big )},\,{\dot {\varphi }}(t){\Big \rangle }\mathrm {d} t=-\int _{c}^{d}{\Big \langle }0,\,{\dot {\varphi }}(t){\Big \rangle }\mathrm {d} t=0}$

Teil 3

Da die Funktionen ${\displaystyle \phi ,\psi }$ dem Amplitudensatz genügen und ${\displaystyle q_{2}-q_{1}<0}$ monoton fallend ist, bleibt das Integral in dem Intervall ${\displaystyle (c,d)}$ beschränkt und es gilt:

${\displaystyle \int _{c}^{d}{\Big \langle }{\big (}q_{2}(t)-q_{1}(t){\big )}\phi (t)\psi (t),\,{\dot {\varphi }}(t){\Big \rangle }\mathrm {d} t={\widetilde {\widetilde {C}}}}$.

Mit dieser Integralgleichung wird deutlich, dass gelten muss ${\displaystyle {\widetilde {C}}={\widetilde {\widetilde {C}}}}$.

Um nun Aussagen über den Verlauf der Eigenfunktionen innerhalb des Intervalls ${\displaystyle (c,d)}$ machen zu können, wird folgende Konstruktion betrachtet: ${\displaystyle -{\bigg [}pW(\phi ,\psi ){\bigg ]}_{c}^{d}}$.

Sind die beiden linear unabhängigen Funktionen ${\displaystyle \psi }$ und o.B.d.A. ${\displaystyle \phi :=p\psi '}$ gegeben, so folgt mit Gleichung (2) ${\displaystyle -(p\psi ')'+q_{2}\psi =0}$, dass ${\displaystyle \phi '=(p\psi ')'=q_{2}\psi }$ und somit lässt sich die Wronski-Determinante wie folgt darstellen

${\displaystyle W(\phi ,\psi )={\begin{vmatrix}\phi &\psi \\\phi '&\psi '\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}p\psi '&\psi \\q_{2}\psi &\psi '\end{vmatrix}}=p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}}$

und daher

${\displaystyle -{\bigg [}pW(\phi ,\psi ){\bigg ]}_{c}^{d}=-{\bigg [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\bigg ]}_{c}^{d}}$.

Sei nun o. B. d. A. ${\displaystyle \phi =p\psi '\geq 0}$ auf dem Intervall ${\displaystyle (c,d)\subseteq (a,b)}$, so dass die Dirichlet-Randbedingung ${\displaystyle \phi (c)=p\psi '(c)=0=p\psi '(d)=\phi (d)}$ erfüllt ist, dann folgt

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\bigg [}pW(\phi ,\psi ){\bigg ]}_{c}^{d}&=-{\bigg [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\bigg ]}_{c}^{d}={\bigg [}pq_{2}\left(\psi \right)^{2}{\bigg ]}_{c}^{d}\\&=p(d)q_{2}(d){\big (}\psi (d){\big )}^{2}-p(c)q_{2}(c){\big (}\psi (c){\big )}^{2}.\end{aligned}}}$

Um zu zeigen welches Vorzeichen ${\displaystyle \left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right)}$ hat, wird wegen ${\displaystyle (pq_{2})'>0}$ der Amplitudensatz ${\displaystyle |\psi (d)|<|\psi (c)|}$ angewandt und mit der Identität ${\displaystyle (\psi )^{2}=|\psi |^{2}}$ folgende Ungleichungen betrachtet

(3)${\displaystyle \quad p(d)q_{2}(d)\left({\big (}\psi (d){\big )}^{2}-{\big (}\psi (c){\big )}^{2}\right)<0}$ und

(4)${\displaystyle \quad p(c)q_{2}(c)\left({\big (}\psi (d){\big )}^{2}-{\big (}\psi (c){\big )}^{2}\right)<0.}$

Addition von (3) und (4) liefert

${\displaystyle p(d)q_{2}(d)\left({\big (}\psi (d){\big )}^{2}-{\big (}\psi (c){\big )}^{2}\right)+p(c)q_{2}(c)\left({\big (}\psi (d){\big )}^{2}-{\big (}\psi (c){\big )}^{2}\right)<0}$.

Nach umsortieren wird daraus

${\displaystyle p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(d)q_{2}(d)\left(\psi (c)\right)^{2}<0}$.

Nach Voraussetzung ist ${\displaystyle p(c)q_{2}(c)<p(d)q_{2}(d)}$, ${\displaystyle \left(\psi (d)\right)^{2}<\left(\psi (c)\right)^{2}}$ und somit ${\displaystyle p(c)q_{2}(c)\left(\psi (d)\right)^{2}<p(d)q_{2}(d)\left(\psi (c)\right)^{2}}$ bzw. ${\displaystyle p(c)q_{2}(c)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(d)q_{2}(d)\left(\psi (c)\right)^{2}<0}$ und demzufolge muss gelten

${\displaystyle p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}<0}$.

Also gilt

${\displaystyle -{\bigg [}pW(\phi ,\psi ){\bigg ]}_{c}^{d}<0}$.

Wegen der Dirichlet-Randbedingung ist ${\displaystyle \phi (c)=p\psi '(c)=0=p\psi '(d)=\phi (d)}$ und es gilt ${\displaystyle \psi '(c)=0=\psi '(d)}$. Da nach Voraussetzung ${\displaystyle \phi \geq 0}$ auf ${\displaystyle (c,d)}$ ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein ${\displaystyle \xi \in (c,d)}$ so dass ${\displaystyle \phi }$ eine lokale Extremstelle einnimmt. Unterhalb dieser Extremstelle ist ${\displaystyle \phi }$ monoton steigend und oberhalb der Extremstelle ist ${\displaystyle \phi }$ monoton fallend. Dementsprechend ist auch ${\displaystyle \psi '}$ in ${\displaystyle (c,d)}$ zunächst monoton steigend und dann monoton fallend und wegen des Vorzeichenwechsels von ${\displaystyle \psi '}$ in ${\displaystyle (c,d)}$ muss ${\displaystyle \psi }$ eine Nullstelle in ${\displaystyle (c,d)}$ haben.

Beispiel

Ein einfaches Beispiel ist die Differentialgleichung

${\displaystyle -\psi ''=\lambda \psi }$

auf dem Intervall ${\displaystyle [0,\pi ]}$, zusammen mit den Dirichlet-Randbedingungen

${\displaystyle \psi (0)=\psi (\pi )=0.}$

Aufgrund der Randbedingungen wird der periodische Ansatz ${\displaystyle \psi (x)=a\sin({\sqrt {\lambda }}x)}$ für ${\displaystyle \lambda >0}$ und beliebige ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ gewählt. Wegen ${\displaystyle \psi (0)=\psi (\pi )=0}$ ist ${\displaystyle a\neq 0}$ und ${\displaystyle \sin({\sqrt {\lambda }}\pi )=0,}$ also ${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}\pi =n\pi }$ und somit ${\displaystyle \lambda =n^{2}}$ für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Die Folge der Eigenwerte lautet demnach

${\displaystyle \lambda _{n}=n^{2}}$

und genügt der Weyl-Asymptotik. Die Folge der Eigenfunktionen ergibt sich, bis auf die zu bestimmenden Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}}$, zu

${\displaystyle \psi _{n}(x)=a_{n}\sin(n\,x).}$

Die Orthonormalbasis der Eigenfunktionen im Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}([a,b],\mathrm {d} x)}$ mit ${\displaystyle w(x)=1}$ ergibt sich unter Verwendung der trigonometrischen Formel ${\displaystyle \textstyle \sin(nx)\;\sin(mx)={\frac {1}{2}}{\Big (}\cos {\big (}(n-m)x{\big )}-\cos {\big (}(n+m)x{\big )}{\Big )}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{n},\psi _{m}\rangle &=\int {\overline {\psi _{n}(x)}}\psi _{m}(x)\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi }{\overline {a_{n}\sin(nx)}}\;a_{m}\sin(mx)\,\mathrm {d} x=a_{n}a_{m}\int _{0}^{\pi }\sin(nx)\sin(mx)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {a_{n}a_{m}}{2}}\int _{0}^{\pi }{\bigg (}\cos {\big (}(n-m)x{\big )}-\cos {\big (}(n+m)x{\big )}{\bigg )}\,\mathrm {d} x\\\\&={\begin{cases}{\frac {a_{n}a_{m}}{2}}{\bigg [}{\frac {1}{n-m}}\sin {\big (}(n-m)x{\big )}-{\frac {1}{n+m}}\sin {\big (}(n+m)x{\big )}{\bigg ]}_{0}^{\pi }=0&&{\text{wenn}}\;n\neq m\\\\{\frac {a_{n}^{2}}{2}}{\Bigg [}x-{\frac {1}{2n}}\sin(2nx){\bigg ]}_{0}^{\pi }={\frac {a_{n}^{2}\pi }{2}}&&{\text{wenn}}\;n=m\end{cases}}\\\\&={\frac {a_{n}^{2}\pi }{2}}\delta _{nm}.\end{aligned}}}$

Hierbei bedeutet ${\displaystyle \delta _{nm}}$ das Kronecker-Delta und die Normierung ${\displaystyle \langle \psi _{n},\psi _{m}\rangle =\delta _{nm}}$ bedingt ${\displaystyle a_{n}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$, so dass die normierten Eigenfunktionen die Darstellung