Stumpfer Winkel

Ein Winkel ${\displaystyle \alpha }$ heißt stumpf, falls gilt:

• ${\displaystyle 90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }}$ (im Gradmaß) bzw.
• ${\displaystyle \pi /2<\alpha <\pi }$ (im Bogenmaß).

In der linearen Algebra heißt eine Familie von Vektoren stumpfwinklig, falls der Winkel zwischen je zwei dieser (verschiedenen) Vektoren stumpf ist. Die formale Definition lautet wie folgt:

Sei ${\displaystyle S=\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine Familie von Vektoren und ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ das Standardskalarprodukt auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Dann heißt S stumpfwinklig, falls gilt ${\displaystyle \langle v_{i},v_{j}\rangle <0}$, für ${\displaystyle 1\leq i<j\leq k}$.

Es lässt sich zeigen, dass eine stumpfwinklige Familie im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ höchstens ${\displaystyle n+1}$ Vektoren enthalten kann.

Liegt eine symmetrische Konfiguration von ${\displaystyle n+1}$ Vektoren im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ vor, so gilt für den Winkel ${\displaystyle \varphi }$ zwischen je zwei (verschiedenen) Vektoren: ${\displaystyle \varphi =\arccos \left(-{\frac {1}{n}}\right)}$.

Im Fall ${\displaystyle n=3}$ beispielsweise beschreibt eine symmetrische Konfiguration von vier Vektoren gleicher Länge ein reguläres Tetraeder. Daraus erhält man direkt den Tetraederwinkel ${\displaystyle \tau =\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109{,}47^{\circ }}$.

Siehe auch

• Arten von Winkeln