Strukturkonstante

Strukturkonstanten enthalten in der Mathematik die gesamten Informationen einer (endlichdimensionalen) Lie-Algebra und somit insbesondere alle lokalen Informationen jeder ihr zugeordneten Lie-Gruppe.

Definition

Sei ${\displaystyle V}$ eine endlichdimensionale Lie-Algebra mit der Lie-Klammer ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ und sei ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ eine Vektorraumbasis dieser Lie-Algebra. Da in Vektorräumen jedes Element als Linearkombination bezüglich einer Basis darstellbar ist, existiert für alle ${\displaystyle i,j\in {1,\ldots n}}$ die Zerlegung

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=\sum _{k=1}^{n}c_{ij}^{k}x_{k}}$

der Lie-Klammer der Lie-Algebra. Die ${\displaystyle n^{3}}$ Konstanten ${\displaystyle c_{ij}^{k}\in \mathbb {C} }$ (d. h. aus der Menge der komplexen Zahlen) heißen Strukturkonstanten der Lie-Algebra.

Eigenschaften

• Antisymmetrie

Die Strukturkonstanten sind aufgrund der Antisymmetrie der Lie-Klammer antisymmetrisch in den unteren Indizes;

${\displaystyle c_{ij}^{k}=-c_{ji}^{k}}$

Daraus folgt für Strukturkonstanten mit identischen unteren Indizes ${\displaystyle c_{ii}^{k}=0}$.

• Jacobi-Identität

Aufgrund der Jacobi-Identität für die Lie-Klammer folgt eine Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten:

${\displaystyle \sum _{l=1}^{n}\left(c_{il}^{m}c_{jk}^{l}+c_{jl}^{m}c_{ki}^{l}+c_{kl}^{m}c_{ij}^{l}\right)=0}$

• Tensorstruktur

Die Strukturkonstanten sind ${\displaystyle (2,1)}$-Tensoren. Das heißt, bei einem Basiswechsel ${\displaystyle \textstyle x_{i}\to x_{i}'=\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{j}x_{j}}$ gilt:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{c'}_{ij}^{k}a_{k}^{l}=\sum _{r,s=1}^{n}c_{rs}^{l}a_{i}^{r}a_{j}^{s}}$

Beispiel

Als Beispiel für Strukturkonstanten sei die in der Physik wichtige Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ in der Basis der Pauli-Matrizen ${\displaystyle \sigma _{i},i=1,2,3}$ gegeben. Die Lie-Klammer in dieser Darstellung ist der Kommutator und es gilt

${\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=\sum _{k=1}^{3}2\mathrm {i} \varepsilon _{ij}^{k}\sigma _{k}}$

mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol ${\displaystyle \varepsilon _{ij}^{k}}$.

Literatur

• Hans Samelson: Notes on Lie Algebras. Springer, New York 1990, ISBN 978-0-387-97264-0, S. 5. 
• Manfred Böhm: Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-20378-7, S. 179–180.