Strom (Mathematik)

In der geometrischen Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verallgemeinern Ströme (engl.: currents) den Begriff von Distributionen und implizit (Unter-)Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Georges deRham eingeführt.[1]

Ströme und normale Ströme

Ströme

Definition

Ein -dimensionaler Strom oder -Strom in ist ein stetiges, lineares Funktional auf . Die Menge der -dimensionalen Ströme auf wird mit bezeichnet.

Mit wird die Menge der m-linearen alternierenden Formen bezeichnet, so dass der Raum der -Formen auf mit kompaktem Träger ist. Ein Strom ist ein Element des topologischen Dualraums .

Eigenschaften

Eine Folge in konvergiert schwach gegen einen Strom , wenn für alle ; wir scheiben . Der Träger eines Stromes ist die kleinste abgeschlossene Menge mit der Eigenschaft, dass für alle mit .

Rand eines Stromes

Sei . Der Rand von ist der Strom , welcher durch für alle definiert ist. Ein Strom heißt geschlossen, wenn sein Rand verschwindet.

Es gilt , weil , , und impliziert .

Masse

Seien, . Für offen und beliebig. Man setze

und .

Das definiert ein reguläres äußeres Borel-Maß auf . Wir definieren die Masse von durch . Den Vektorraum aller mit bezeichnen wir mit . Ein Strom hat lokal endliche Masse, falls ein Radon-Maß ist, also falls endlich auf kompakten Mengen ist, und bezeichnet den Vektorraum aller dieser Ströme.

Normale Ströme

Die Theorie der normalen Ströme wurde von H. Federer und W. Flemming eingeführt.[2]

Sei . Man setze . Wir nennen normal, falls und lokal-normal, falls ein Radon-Maß ist. Wir bezeichnen den Vektorraum aller normalen Ströme mit und den Vektorraum aller lokal-normalen Ströme mit .

Wichtige Sätze für n-Ströme in ℝn

Konstanzsatz

Sei offen und zusammenhängend, und . Dann existiert eine Konstante , sodass .

Hier ist , also für .

Charakterisierung von Nm,loc(T)

Sei . Dann ist dann und nur dann, wenn für ein , in welchem Fall ist. Hier bezeichnet die Funktionen lokal beschränkter Variation.

Integralströme

Ganzzahlig rektifizierbare Ströme

Sei das Hausdorff-Maß auf dem . Ein Strom heißt lokal ganzzahlig rektifizierbarer Strom, falls man diesen in folgender Form darstellen kann:

wobei

  1. abzählbar -rektifizierbar und eine -messbare Menge ist,
  2. eine lokale -integrierbare natürliche Funktion auf ist,
  3. eine -messbare -wertige Funktion auf , sodass für -fast überall , ist einfach, , und bezeichnet den approximierten Tangentialraum .

Die Menge der lokal ganzzahlig rektifizierbaren Strömen in wird mit bezeichnet. Ein ganzzahlig rektifizierbarer Strom in ist eine Element von .

Integralstrom

Der Raum der lokal integrierbaren Ströme in ist definiert durch für und . Ein Integralstrom in ist ein Element von . Weiter bezeichnen wir .

Minimierung von Strömen

Ein Strom heißt minimierbar wenn für jede kompakte Menge und jedes mit kompaktem Träger und Rand .

Literatur

Einzelnachweise

  1. G. de Rham: Variétés différentiables, formes, courants, formes harmoniques. Hrsg.: Actualités scientifiques et industrielles, Vol. 1222, Hermann, Paris 1955.
  2. Herbert Federer, Wendell H. Fleming: Normal and Integral Currents. In: The Annals of Mathematics. Band 72, Nr. 3, November 1960, ISSN 0003-486X, S. 458, doi:10.2307/1970227.