Streng nicht-palindromische Zahl

Eine streng nicht-palindromische Zahl ist eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$, die in keinem Stellenwertsystem ein Zahlenpalindrom ist, dessen Basis ${\displaystyle b}$ im Bereich ${\displaystyle 2\leq b\leq n-2}$ liegt.

Die obere Grenze ${\displaystyle n-2}$ für die Größe der Basis ist notwendig, um die Folge nichttrivial zu halten, da

• jede Zahl ${\displaystyle n}$ (größer 1) zu jeder Basis ${\displaystyle b>n}$ als eine einstellige (also auch palindromische) Zahl geschrieben wird;
• jede Zahl ${\displaystyle n}$ (größer 2) zur Basis ${\displaystyle n}$ als ${\displaystyle 10}$, also nicht-palindromisch geschrieben wird;
• jede Zahl ${\displaystyle n}$ (größer 3) zur Basis ${\displaystyle n-1}$ als ${\displaystyle 11}$ (palindromisch) geschrieben wird.

Für ${\displaystyle n\leq 3}$ ist die Menge an Basen leer, sodass diese Zahlen trivialerweise ebenfalls streng nicht-palindromisch sind.

Beispiele

Beispielsweise ist die (Dezimal-)Zahl 6 geschrieben

• zur Basis zwei: 110,
• zur Basis drei: 20 und
• zur Basis vier: 12

Da keine dieser Schreibweisen palindromisch ist, ist 6 streng nicht-palindromisch.

Die Folge der streng nicht-palindromischen Zahlen beginnt mit

0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, …^[1]

Eigenschaften

Alle streng nicht-palindromischen Zahlen größer 6 sind Primzahlen. Zu jeder zusammengesetzten Zahl ${\displaystyle n>6}$ kann also eine Basis gefunden werden, zu der ${\displaystyle n}$ palindromisch ist.

Beweis

1. Wenn ${\displaystyle n}$ gerade ist, dann wird ${\displaystyle n}$ zur Basis ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}-1}$ als 22 (palindromisch) geschrieben.
2. Anderenfalls ist ${\displaystyle n}$ ungerade und lässt sich als ${\displaystyle n=p\cdot m}$ schreiben, wobei ${\displaystyle p}$ der kleinste Primfaktor von ${\displaystyle n}$ ist. Verständlicherweise ist dann ${\displaystyle p\leq m}$.

• Ist dann ${\displaystyle p=m=3}$, so ist ${\displaystyle n=9}$, was zur Basis 2 als 1001 (palindromisch) geschrieben wird.
• Ist dann ${\displaystyle p=m>3}$, so wird ${\displaystyle n}$ zur Basis ${\displaystyle p-1}$ als 121 (palindromisch) geschrieben.

Anderenfalls ist ${\displaystyle p<m-1}$. Der Fall ${\displaystyle p=m-1}$ kann nicht eintreten, da sowohl ${\displaystyle p}$ als auch ${\displaystyle m}$ ungerade sind.

In diesem Fall wird ${\displaystyle n}$ als die zweistellige Zahl ${\displaystyle {\rm {pp}}}$ (palindromisch) zur Basis ${\displaystyle m-1}$ geschrieben.

In jedem dieser Fälle liegt die Basis ${\displaystyle b}$ im Bereich ${\displaystyle 2\leq b\leq n-2}$.

Einzelnachweise

1. ↑ Folge A016038 in OEIS