Strahlensatz

Der Strahlensatz (man spricht auch vom ersten, zweiten und dritten Strahlensatz) oder Vierstreckensatz gehört zu den wichtigsten Aussagen der Elementargeometrie. Er befasst sich mit Streckenverhältnissen und ermöglicht es bei vielen geometrischen Überlegungen, unbekannte Streckenlängen auszurechnen.

In der synthetischen Geometrie können die ersten beiden Strahlensätze mit Einschränkungen sinngemäß auf affine Translationsebenen verallgemeinert werden und gelten uneingeschränkt für desarguesche Ebenen. Dagegen gilt der dritte Strahlensatz, der in der synthetischen Geometrie auch Dreistrahlsatz genannt wird, im Allgemeinen nur für pappussche Ebenen, siehe dazu Affine Translationsebene – Strahlensatz und Streckungen.

Formulierung der Strahlensätze

Die beiden Skizzen berücksichtigen, dass der Kreuzungspunkt Z außerhalb oder innerhalb der beiden parallelen Geraden liegen kann. Im ersten Fall spricht man gelegentlich von einer „V-Figur“ (linke Skizze), im zweiten von einer „X-Figur“ (rechte Skizze).
Skizzen zum dritten Strahlensatz; der Kreuzungspunkt Z kann außerhalb oder innerhalb der beiden parallelen Geraden liegen

Wenn zwei bzw. drei durch einen Punkt (Scheitel) verlaufende Geraden von zwei Parallelen geschnitten werden, die nicht durch den Scheitel gehen, dann gelten die folgenden Aussagen:

  1. Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinander wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden, also zum Beispiel , oder
  2. Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf jeweils derselben Geraden:.
  3. Es stehen je zwei Abschnitte auf den Parallelen, die einander entsprechen, in gleichem Verhältnis zueinander, z. B. oder . Dieser Strahlensatz setzt im Gegensatz zu den ersten beiden Strahlensätzen mindestens drei Geraden voraus.

Der erste Strahlensatz bezieht sich also auf die Verhältnisse von Strahlenabschnitten, der zweite auf die Verhältnisse von Strahlen- und Parallelenabschnitten und der dritte auf die Verhältnisse von Parallelenabschnitten.

Bemerkung (Umkehrung des Strahlensatzes):

Ist Eigenschaft 1 erfüllt, so kann man auf parallele Geraden schließen. Ist dagegen Eigenschaft 2 gegeben, so ist ein entsprechender Schluss auf Parallelität nicht möglich.

Der Name Strahlensatz erklärt sich aus der Tatsache, dass man oft nur den Spezialfall betrachtet, in dem die beiden Parallelen auf derselben Seite des Scheitels liegen („V-Figur“). Denn dann benötigt man zur Formulierung keine zwei sich in einem Scheitel schneidenden Geraden, sondern lediglich zwei Strahlen mit gemeinsamem Ursprung.

Verwandte geometrische Konzepte

Der Strahlensatz steht in engem Zusammenhang mit dem Begriff der geometrischen Ähnlichkeit. Die Dreiecke und sind in jeder der drei Skizzen sowie und in der Skizze nach Satz 3 (in „Formulierung der Strahlensätze“) zueinander ähnlich. Dies bedeutet insbesondere, dass entsprechende Seitenverhältnisse in diesen Dreiecken übereinstimmen – eine Aussage, aus der sich unmittelbar der Strahlensatz ergibt.

Siehe auch: Ähnlichkeitssätze

Ein weiteres Konzept, das mit dem Strahlensatz zusammenhängt, ist das der zentrischen Streckung (einer speziellen geometrischen Abbildung). In den angesprochenen drei Skizzen bildet die erste (V-Figur) beispielsweise die zentrische Streckung mit Zentrum und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) die Punkte und auf die Punkte bzw. ab. Entsprechendes gilt für die zweite Skizze (X-Figur); hier ist der Streckungsfaktor gleich

Eine ähnlich enge Beziehung besteht zur Vektorrechnung. Die Rechenregel

für zwei Vektoren und einen reellen Skalar ist nur eine andere Ausdrucksweise für den Strahlensatz, denn es gilt dann:

.

Hierbei bezeichnet die Länge (euklidische Norm) des Vektors

Strahlensatz und Vektoren

Anwendungen

Vermessung

In der Verhältnisgleichung des Strahlensatz bestimmen drei (bekannte) Größen die (möglicherweise unbekannte) vierte Größe. Dies lässt sich in der Vermessung von unzugänglichen, nicht direkt messbaren Strecken verwenden, indem man die nicht direkt messbare Strecke als (unbekannte) vierte Größe in einer Strahlensatzkonfigurationen wählt. Einfache Messgeräte, die auf diesem Prinzip beruhen, sind der Jakobsstab und das Försterdreieck. Auch der Daumensprung zum Schätzen von Entfernungen beruht auf diesem Prinzip.

Höhe der Cheops-Pyramide

Skizze 1: Maßstab und Pyramide
Skizze 2: Strahlensatz

Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Strahlensatzes soll auf den antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zurückgehen. Dieser habe mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenlänge die Höhe der ägyptischen Cheopspyramide ermittelt. In anderen Sprachen wird der Strahlensatz daher oft auch als Satz des Thales[1] bezeichnet.

Die folgende Beispielrechnung ermittelt die Höhe der Cheopspyramide mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes, sie entspricht jedoch vermutlich nicht der exakten Berechnung des Thales selbst[2]:

Zunächst bestimmt man die Seitenlänge der Pyramide und anschließend die Länge des Schattens ebenjener. Anschließend steckt man einen Stab senkrecht in den Boden und vermisst dessen Höhe und dessen Schattenlänge. Man erhält dann die folgenden Werte:
  • Höhe des Stabes:
  • Schattenlänge des Stabes:
  • Direkt messbare Schattenlänge der Pyramide:
  • Seitenlänge der Pyramide:
  • Gesamte Schattenlänge der Pyramide:
  • Gesuchte Höhe der Pyramide:
Mit Hilfe des Strahlensatzes (Skizze 2) stellt man die folgende Gleichung auf:
Die Länge der Seite des Dreiecks setzt sich dabei aus der halben Seitenlänge und der Länge des Schattens der Pyramide zusammen. Umgestellt nach D erhielt man:

Flussbreite

Flussbreite

Auch in der Landvermessung kann der Strahlensatz verwendet werden, um die Länge schwer zugänglicher Strecken wie zum Beispiel die Entfernung gegenüberliegender Ufer von Gewässern zu bestimmen. Die Breite eines Flusses (siehe Grafik rechts) kann man wie folgt bestimmen. Zunächst markiert man die Endpunkte A und B der zu bestimmenden Strecke, dann konstruiert man eine zu AB rechtwinklige AC. Eine solche Konstruktion kann man zum Beispiel mit Hilfe eines Drehkreuzes, Winkelspiegels oder Doppelpentagonprisma durchführen. Auf AC wählt man einen (beliebigen) Punkt E von dem man aus den Punkt B am anderen Ufer anpeilt und die Strecke EB dann über E hinaus in die entgegengesetzte Richtung verlängert. Dann konstruiert man im Punkt C eine zu AC rechtwinklige Strecke, die die Verlängerung von EB im Punkt D schneidet. Da die Strecken AE, CE und CD alle auf derselben Uferseite liegen, lassen sie sich einfach vermessen und der zweite Strahlensatz liefert dann die gesuchte Flussbreite:

Teilung einer Strecke

Teilung einer Strecke im Verhältnis 5:3

Der erste Strahlensatz ermöglicht, mit einem einfachen Verfahren – ohne Berechnungen oder Messungen – eine Strecke in einem (ganzzahligen) Verhältnis () zu teilen. Zu einer gegebenen Strecke AB zeichnet man einen Strahl mit Startpunkt in A ein. Dann trägt man auf dem Strahl beginnend an A m+n gleich lange und aufeinander folgende Strecken ab. Den Endpunkt der m+n-ten Strecke verbindet man mit B und zeichnet dann die Parallele zu dieser Strecke durch den Endpunkt der m-ten Strecke. Diese Parallele teilt die Strecke AB im gewünschten Verhältnis .

Weitere Anwendungen und Verallgemeinerungen

Beweis

Die in Satz 1 aufgestellten Streckenverhältnisse lassen sich für flächengleiche Dreiecke in der Strahlensatzfigur herleiten. Die Sätze 2 und 3 sowie die Umkehrung von Satz 1 ergeben sich dann durch die Anwendung von Satz 1 bzw. der schon bewiesenen Sätze.

Satz 1

Skizze zum Beweis von Satz 1

Die Lote von A' bzw. B' auf die Gerade haben die gleiche Länge, da parallel zu ist. Diese Lote sind Höhen der Dreiecke ABB' bzw. ABA', welche die zugehörige Grundseite gemeinsam haben. Für die Flächen gilt daher

und weiter

oder flächenvereint

.

Aus der ersten Zeile folgt:

und aus der zweiten:

Das Anwenden der Standardformel zur Flächenberechnung von Dreiecken () liefert dann

und

Kürzen liefert die ersten beiden Gleichungen aus Satz 1

und .

Aus der letzten Gleichung erhält man dann

Nun bringt man auf beiden Seiten den jeweiligen Ausdruck auf den gleichen Nenner

und dies entspricht dann der dritten Gleichung aus Satz 1

Satz 1 – Beweis nach Archimedes

Skizze zum Beweis von Satz 1 nach Archimedes

Archimedes reichte es, die Gleichheit zweier Seitenverhältnisse für einen Fall nachzuweisen. Die anderen Fälle ergeben sich daraus unmittelbar.

Der Beweis wird nicht zitiert, sondern lediglich gemäß der Archimedischen Methodenlehre[3] ausgeführt. Mit den üblichen Seiten- und Winkelbezeichnungen für die Dreiecke und (siehe nebenstehende Skizze) wird gezeigt, dass (entspricht ) gilt. Die Winkel und ' sowie und ' sind als Stufenwinkel gleich.

Vorgehensweise

Bezeichne die Höhen, die durch das Lot von auf die Geraden gegeben sind, mit und sowie deren Fußpunkte mit und . Da gleich ' ist, haben jeweils die „ferne“ Kathete und die Hypotenuse in beiden rechtwinkligen Dreiecken und dasselbe Verhältnis zueinander. (In „moderner“ Formulierung: gleich Gegenkathete von zu Hypotenuse).

Demzufolge gilt

und daher .

Aus gleich ' folgen durch entsprechende Betrachtung der Dreiecke und die Gleichungen

bzw. .

Und schließlich

.

Was zu beweisen war.

Satz 2

Skizze zum Beweis von Satz 2

Der Satz 2 ist die konstruktive Erweiterung von Satz 1.

Konstruiere eine Parallele zu durch . Diese Parallele schneidet in .

Wegen gilt aufgrund von Satz 1:

worin sich durch ersetzen lässt:

Satz 3

Skizze zum Beweis von Satz 3

Der Satz 3 ist die konstruktive Erweiterung von Satz 2.

Ziehe eine Gerade durch und , dabei ergeben sich die Schnittpunkte auf sowie auf . Konstruiere eine Parallele zu durch , die in schneidet.

Wegen und gilt aufgrund von Satz 2:

Also hat man oder umgestellt auch .

Umkehrung von Satz 1

Skizze zur Umkehrung von Satz 1

Angenommen und wären nicht parallel. Dann gibt es eine Parallele zu , die durch den Punkt geht und den Strahl in (*) schneidet. Da nach Voraussetzung gilt, ergibt sich

Andererseits gilt nach dem ersten Strahlensatz auch

.

Dies bedeutet, dass und beide auf dem Strahl liegen und den gleichen Abstand von haben. Damit sind die beiden Punkte jedoch identisch, also . Dies ist ein Widerspruch dazu, dass es sich nach Bedingung (*) um 2 verschiedene Punkte handeln soll. Also führt die Annahme der Nichtparallelität zu einem Widerspruch und kann daher nicht richtig sein; oder anders ausgedrückt: Es muss gelten.

Literatur

  • Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
  • Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 124 ff. (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik).
  • Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 157–170.
  • Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg+Teubner Verlag 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1, S. 36–41

Weblinks

Commons: intercept theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. Nicht zu verwechseln mit dem im deutschen Sprachraum als Satz des Thales bezeichneten Spezialfall des Kreiswinkelsatzes.
  2. Von Thales selbst sind keine Werke erhalten geblieben. Es gibt jedoch mehrere historische Quellen, die die Berechnung der Pyramidenhöhe durch Thales erwähnen. Alle diese Quellen sind aber mehrere Jahrhunderte nach dem Tode Thales verfasst worden und leicht unterschiedlich in ihrer Beschreibung, so dass sich letztendlich nicht mit Bestimmtheit sagen lässt, inwieweit Thales den Strahlensatz selbst oder einen Spezialfall von ihm als geometrischen Lehrsatz kannte oder ob er lediglich eine physikalische Beobachtung anwandte. So steht bei Diogenes Laertius: "Hieronymus sagt, dass es Thales sogar gelang die Höhe der Pyramiden zu bestimmen, indem er den Schatten der Pyramide genau in dem Augenblick vermass, in dem seine eigene Schattenlänge seiner Körpergröße entsprach." Eine ähnliche Formulierung findet man bei Plinius: "Thales entdeckte, wie man die Höhe von Pyramiden und anderen Objekten bestimmt, nämlich indem man den Schatten des Objektes genau zu dem Zeitpunkt misst, an dem Höhe und Schatten gleich lang sind." Bei Plutarch jedoch findet sich eine Beschreibung, die eventuell eine Kenntnis des Strahlensatzes vermuten lässt: "… ohne Schwierigkeiten und Zuhilfenahme eines Instrumentes, stellte er lediglich einen Stock am Ende des Pyramidenschatten auf und erhielt so zwei durch die Sonnenstrahlen erzeugte Dreiecke … dann zeigte er, dass die Höhe des Stocks und die Höhe der Pyramide im selben Verhältnis stehen, wie die Schattenlänge des Stockes und die Schattenlänge der Pyramide" (Quelle: Biographie des Thales im MacTutor)
  3. Archimedes Werke. Übersetzt und mit Anmerkungen versehen von Arthur Czwalina Wiss. Buchgesellschaft, Darmstadt 1983, ISBN 3-534-02029-4

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Computing the height of the Great Pyramid of Giza using a stick and the lengths of the shadows on the floor. An illustration of the geometric intercept theorem, attributed to Thales.

Height of the Cheops Pyramid

According to some historical sources the Greek mathematician Thales applied the intercept theorem to determine the height of the Cheops' pyramid. The following description illustrates the use of the intercept theorem to compute the height of the Cheops' pyramid. It does not however recount Thales' original work, which was lost.

Thales measured the length of the pyramid's base and the height of his pole. Then at the same time of the day he measured the length of the pyramid's shadow and the length of the pole's shadow. This yielded the following data:

  • height of the pole (A): 1.63m
  • shadow of the pole (B): 2m
  • length of the pyramid base: 230m
  • shadow of the pyramid: 65m

From this he computed

Knowing A,B and C he was now able to apply the intercept theorem to compute

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Skizze zu Strahlensätzen
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