Straffe Blätterung

In der Mathematik, insbesondere in Differentialgeometrie und Topologie sind straffe Blätterungen (engl.: taut foliations) Blätterungen, die sich durch Minimalflächen einer geeigneten Riemannschen Metrik realisieren lassen.

Definition

Sei ${\displaystyle M}$ eine Mannigfaltigkeit. Eine Blätterung der Kodimension 1 heißt straff, wenn es zu jedem Blatt ${\displaystyle L}$ eine Abbildung ${\displaystyle f\colon S^{1}\rightarrow M}$ gibt, deren Bild ${\displaystyle L}$ transversal schneidet.

Realisierbarkeit durch Minimalflächen

Sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene, orientierte, differenzierbare Mannigfaltigkeit. Nach einem Satz von Rummler und Sullivan^[1] sind die folgenden Bedingungen an eine transversal orientierbare Kodimension 1-Blätterung ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ äquivalent:

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ist straff
• es gibt einen zu ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ transversalen Fluss, der eine Volumenform invariant lässt
• es gibt eine Riemannsche Metrik auf ${\displaystyle M}$, in der die Blätter von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ Flächen kleinster Fläche sind.

Blätterungen ohne Reebkomponenten

Wenn eine Blätterung straff ist, kann es keine Reeb-Komponente, d. h. keine Teilmenge diffeomorph zu einer Reeb-Blätterung, geben. Für atoroidale 3-Mannigfaltigkeiten gilt auch die Umkehrung: jede Blätterung ohne Reeb-Komponenten ist straff.

Straffe Blätterungen von 3-Mannigfaltigkeiten

Für straffe Blätterungen von 3-Mannigfaltigkeiten gibt es eine gut ausgearbeitete Strukturtheorie. Zunächst können nach dem Satz von Novikov-Zieschang auf einer geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit straffe Blätterungen nur dann existieren, wenn ${\displaystyle \pi _{2}(M)=0}$ oder ${\displaystyle M=S^{2}\times S^{1}}$, und es müssen dann notwendigerweise alle Blätter inkompressibel sein.^[2] Eine hinreichende Bedingung für die Existenz straffer Blätterungen liefert der Satz von Gabai: Sei M eine geschlossene, irreduzible 3-Mannigfaltigkeit mit ${\displaystyle H_{2}(M)\not =0}$, dann gibt es auf M eine straffe Blätterung. Man kann sogar jedes nichttriviale Element von ${\displaystyle H_{2}(M)}$ als Blatt einer straffen Blätterung realisieren.^[3] Gabais Beweis benutzt genarbte Mannigfaltigkeitshierarchien.

Einen Zugang zur Struktur straffer Blätterungen auf 3-Mannigfaltigkeiten liefert der Satz von Palmeira: Wenn es auf einer geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M\not =S^{2}\times S^{1}}$ eine straffe Blätterung gibt, dann ist die universelle Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ diffeomorph zum ${\displaystyle R^{3}}$ und die hochgehobene Blätterung ist eine Blätterung des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ durch Blätter diffeomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.^[4] Der Raum der Blätter (der hochgehobenen Blätterung) ist in diesem Fall eine (i.a. nicht-Hausdorffsche) 1-Mannigfaltigkeit und die straffe Blätterung wird also beschrieben durch eine Wirkung von ${\displaystyle \pi _{1}M}$ auf einer 1-Mannigfaltigkeit.

L-Räume haben keine straffen Blätterungen.

Weblinks

• Kazez-Roberts: Taut foliations
• Manifold Atlas

Belege

1. ↑ Sullivan, Dennis A homological characterization of foliations consisting of minimal surfaces. Comment. Math. Helv. 54 (1979), no. 2, 218–223, doi:10.1007/BF02566269.
2. ↑ Novikov, S. P.: Топология слоений. Тр. Моск. мат. о-ва. 14 1965. 248—278.
3. ↑ Gabai, David: Foliations and the topology of 3-manifolds. J. Differential Geom. 18 (1983), no. 3, 445–503. online (pdf)
4. ↑ Palmeira, Carlos Frederico Borges: Open manifolds foliated by planes. Ann. Math. (2) 107 (1978), no. 1, 109–131. online (pdf)