Stieltjes-Konstanten

Die Stieltjes-Konstanten ${\displaystyle \gamma _{n}}$ sind eine Folge reeller Zahlen, die durch den Grenzwert

${\displaystyle \gamma _{n}:=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log ^{n}k}{k}}-{\frac {\log ^{n+1}N}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc }$

definiert sind, wobei ${\displaystyle \gamma _{0}}$ die Eulersche Konstante ${\displaystyle \gamma }$ ist. Es wird vermutet, dass die ${\displaystyle \gamma _{n}}$ irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\gamma _{n}}{n!}}(s-1)^{n}}$

und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\log ^{2}x}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x=(\log 2)\,{\big (}{\frac {1}{3}}\log ^{2}2+\zeta (2)-\gamma ^{2}-2\gamma _{1}{\big )}=1{,}121192486\dots }$

Sie hängen eng mit den Zahlen

${\displaystyle \tau _{n}:=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log ^{n}k}{k}},\quad n=0,1,2,\dotsc }$

zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion

${\displaystyle \tau _{0}=\log 2}$

${\displaystyle \tau _{n}={\frac {\log ^{n+1}2}{n+1}}-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}\log ^{n-k}2\cdot \gamma _{k},\qquad n=1,2,\dotsc }$

und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:

${\displaystyle \gamma _{n}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}B_{n+1-k}\log ^{n-k}2\cdot \tau _{k},\quad n=0,1,2,\dotsc }$

Aus der Rekursion ergibt sich für ${\displaystyle n=1}$ die Identität ${\displaystyle \tau _{1}={\tfrac {1}{2}}\log ^{2}2-\gamma \log 2}$, d. h. für die Eulersche Konstante die alternierende Reihe

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}\log 2+{\frac {1}{\log 2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log k}{k}}={\frac {1}{2}}\log 2+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log _{2}k}{k}},}$

die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.

Die Folge ${\displaystyle \gamma _{n}}$ zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist, dass

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |\gamma _{n}|}{n}}=\ln \ln n}$

gilt.

Numerische Werte

Verallgemeinerung

Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:

${\displaystyle \gamma _{n}(a):=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log ^{n}(k+a)}{k+a}}-{\frac {\log ^{n+1}(N+a)}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc }$

Literatur

• Rick Kreminski: Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes (generalized Euler) constants. In: Mathematics of Computation. V. 72, No. 243, 2003, S. 1379–1397.
• Charles Knessl, Mark W, Coffey: An effective asymptotic formula for the Stieltjes Constants. In: Mathematics of Computation. V. 80, No. 273, 2010, S. 379–386.

Weblinks

• Werte der Stieltjes-Konstanten von 0 bis 78, je 256 Dezimalstellen
• Eric W. Weisstein: Stieltjes Constants. In: MathWorld (englisch).