Stieltjes-Konstanten

Die Stieltjes-Konstanten sind eine Folge reeller Zahlen, die durch den Grenzwert

definiert sind, wobei die Eulersche Konstante ist. Es wird vermutet, dass die irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion

und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:

Sie hängen eng mit den Zahlen

zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion

und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:

Aus der Rekursion ergibt sich für die Identität , d. h. für die eulersche Konstante die alternierende Reihe

die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.

Die Folge zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist, dass gilt:

Numerische Werte

nDezimalentwicklung von γnOEIS
000,577215664901532860606512090082 …A001620
01−0,0728158454836767248605863758749 …A082633
02−0,00969036319287231848453038603521 …A086279
030,00205383442030334586616004654275 …A086280
040,00232537006546730005746817017752 …A086281
050,000793323817301062701753334877444 …A086282
06−0,000238769345430199609872421841908 …A183141
07−0,000527289567057751046074097505478 …A183167
08−0,000352123353803039509602052165001 …A183206
09−0,000034394774418088048177914623798 …A184853
100,000205332814909064794683722289237 …A184854

Verallgemeinerung

Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:

Literatur

  • Rick Kreminski: Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes (generalized Euler) constants. In: Mathematics of Computation. V. 72, No. 243, 2003, S. 1379–1397.
  • Charles Knessl, Mark W, Coffey: An effective asymptotic formula for the Stieltjes Constants. In: Mathematics of Computation. V. 80, No. 273, 2010, S. 379–386.