Stiefel-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik parametrisieren Stiefel-Mannigfaltigkeiten, benannt nach Eduard Stiefel, die Orthonormalbasen der Unterräume eines Vektorraumes.

Definition

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {H} }$ der (Schief-)Körper der reellen, komplexen oder quaternionischen Zahlen und sei ${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum. Sei ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$.

Dann ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})}$ definiert als Menge aller ${\displaystyle k}$-Tupel orthonormaler Vektoren.

Die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit wird definiert als Menge der ${\displaystyle k}$-Tupel linear unabhängiger Vektoren. Die Inklusion von ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})}$ in die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine Homotopieäquivalenz.

Wirkung der linearen Gruppe

Die Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )}$ wirkt transitiv auf der nichtkompakten Stiefel-Mannigfaltigkeit mit Stabilisator ${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {K} )}$, man erhält also eine Bijektion mit

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )/\operatorname {GL} (k,\mathbb {K} )}$.

Auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})}$ wirken sogar die orthogonalen bzw. unitären Gruppen bereits transitiv und man erhält Bijektionen

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \operatorname {O} (n)/\operatorname {O} (n-k)\\V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \operatorname {U} (n)/\operatorname {U} (n-k)\\V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&\cong \operatorname {Sp} (n)/\operatorname {Sp} (n-k).\end{aligned}}}$

Topologie

Man benutzt die obigen Bijektionen, um auf ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})}$ eine Topologie zu definieren, mit der die Bijektion zu einem Homöomorphismus wird. Mit dieser Topologie werden die ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})}$ zu Mannigfaltigkeiten der folgenden Dimensionen:

${\displaystyle \dim V_{k}(\mathbb {R} ^{n})=nk-{\frac {1}{2}}k(k+1)}$

${\displaystyle \dim V_{k}(\mathbb {C} ^{n})=2nk-k^{2}}$

${\displaystyle \dim V_{k}(\mathbb {H} ^{n})=4nk-k(2k-1).}$

Äquivalent kann man die Topologie auch definieren durch die kanonische Identifizierung von ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})}$ mit einem Unterraum von ${\displaystyle \mathbb {K} ^{nk}}$.

Prinzipalbündel über der Graßmann-Mannigfaltigkeit

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle G_{k}(\mathbb {K} ^{n})}$ ist die Menge der ${\displaystyle k}$-dimensionalen Untervektorräume des ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$.

Jedem ${\displaystyle k}$-Tupel linear unabhängiger Vektoren kann man den von ihm erzeugten Untervektorraum zuordnen, auf diese Weise definiert man eine Projektion

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})\rightarrow G_{k}(\mathbb {K} ^{n})}$.

Die so definierten Projektionen sind Prinzipalbündel

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {O} (k)&\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {R} ^{n})\\\operatorname {U} (k)&\to V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {C} ^{n})\\\operatorname {Sp} (k)&\to V_{k}(\mathbb {H} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {H} ^{n}).\end{aligned}}}$

Stiefel-Mannigfaltigkeiten in der diskreten Mathematik

Der Graph-Homomorphismen-Komplex ${\displaystyle \operatorname {Hom} (C_{5},K_{n})}$ ist homöomorph zur Stiefel-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle V_{2}(\mathbb {R} ^{n-1})}$ (Csorba-Vermutung, bewiesen von Schultz).^[1]

Belege

1. ↑ Small models of graph colouring manifolds and the Stiefel manifold Hom(C₅,K_n) pdf