Stern-Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Stern-Primzahl (vom englischen stern prime) eine Primzahl ${\displaystyle p}$, welche sich nicht als Summe einer kleineren Primzahl und dem Doppelten eines Quadrats einer ganzen Zahl ${\displaystyle b\not =0}$ darstellen lässt.^[1][2][3]

Mit anderen Worten: Gibt es für eine Primzahl ${\displaystyle p}$ keine kleinere Primzahl ${\displaystyle q}$ und keine ganze Zahl ${\displaystyle b\not =0}$, so dass ${\displaystyle p=q+2b^{2}}$ gilt, dann nennt man ${\displaystyle p}$ Stern-Primzahl.

Etwas umformuliert erhält man: Eine Primzahl ${\displaystyle p}$ nennt man Stern-Primzahl, wenn ${\displaystyle p-2b^{2}\not \in \mathbb {P} }$ keine Primzahl ergibt für alle ganzzahligen ${\displaystyle b\not =0}$.

Diese Zahlen wurden erstmals am 18. November 1752 von Christian Goldbach in einem Brief an Leonhard Euler erwähnt (er vermutete damals, dass jede ungerade ganze Zahl die Form ${\displaystyle q+2b^{2}}$ mit ganzzahligem ${\displaystyle b}$ und primen ${\displaystyle q}$ hat) und etwa ein Jahrhundert später, im Jahr 1856, vom deutschen Mathematiker Moritz Stern genauer untersucht, nach dem diese Zahlen auch benannt wurden.^[2]

Beispiele

• Sei ${\displaystyle p=137}$. Dann kann man von dieser Primzahl ${\displaystyle p}$ die ersten doppelten Quadratzahlen ${\displaystyle 2b^{2}}$ subtrahieren und kontrollieren, ob man eine Primzahl ${\displaystyle q}$ erhält:

${\displaystyle 137-2\cdot 1^{2}=135=3^{3}\cdot 5\not \in \mathbb {P} }$ ist keine Primzahl.

${\displaystyle 137-2\cdot 2^{2}=129=3\cdot 43\not \in \mathbb {P} }$ ist keine Primzahl.

${\displaystyle 137-2\cdot 3^{2}=119=7\cdot 17\not \in \mathbb {P} }$ ist keine Primzahl.

${\displaystyle 137-2\cdot 4^{2}=105=3\cdot 5\cdot 7\not \in \mathbb {P} }$ ist keine Primzahl.

${\displaystyle 137-2\cdot 5^{2}=87=3\cdot 29\not \in \mathbb {P} }$ ist keine Primzahl.

${\displaystyle 137-2\cdot 6^{2}=65=5\cdot 13\not \in \mathbb {P} }$ ist keine Primzahl.

${\displaystyle 137-2\cdot 7^{2}=39=3\cdot 13\not \in \mathbb {P} }$ ist keine Primzahl.

${\displaystyle 137-2\cdot 8^{2}=9=3^{2}\not \in \mathbb {P} }$ ist keine Primzahl.

${\displaystyle 137-2\cdot 9^{2}=-25<0}$

Offensichtlich gibt es kein ${\displaystyle b>0}$, sodass ${\displaystyle 137-2\cdot b^{2}\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl ist. Somit ist ${\displaystyle p=137}$ eine Stern-Primzahl.

• Sei ${\displaystyle p=97}$. Wieder kontrolliert man, ob man mit obigem Verfahren eine Primzahl ${\displaystyle q}$ erhält:

${\displaystyle 97-2\cdot 1^{2}=95=5\cdot 19\not \in \mathbb {P} }$ ist keine Primzahl.

${\displaystyle 97-2\cdot 2^{2}=89\in \mathbb {P} }$ ist eine Primzahl.

Man kann die Berechnung unterbrechen, weil man eine Primzahl ${\displaystyle q=89}$ und ein ${\displaystyle b=2\not =0}$ gefunden hat, sodass ${\displaystyle 97-2\cdot b^{2}=q\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl ist. Somit ist ${\displaystyle p=97}$ keine Stern-Primzahl. Diese so errechnete Primzahl ${\displaystyle q=89}$ ist in diesem Fall nicht die einzige Primzahl, die man auf diese Art erhalten kann. Ebenso ergibt auch ${\displaystyle 97-2\cdot 3^{2}=79\in \mathbb {P} }$ und ${\displaystyle 97-2\cdot 5^{2}=47\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl. Es gibt für ${\displaystyle p=97}$ also drei Möglichkeiten, dass man mit ${\displaystyle p-2\cdot b^{2}}$ eine Primzahl erhalten kann. Diese Darstellungen nennt man Goldbach-Darstellungen von ${\displaystyle p=97}$.

• Die einzigen bekannten Stern-Primzahlen sind die folgenden:

2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493 (Folge A042978 in OEIS)

Es gibt bis ${\displaystyle 2\cdot 10^{13}}$ keine weiteren Stern-Primzahlen. Es ist unbekannt, ob es größere gibt.^[1]

• Die folgende Liste gibt alle bekannten ungeraden Zahlen ${\displaystyle n}$ an, nicht notwendigerweise Primzahlen, welche keine Goldbach-Darstellungen haben, welche also nicht von der Form ${\displaystyle n=q+2b^{2}}$ mit primen ${\displaystyle q}$ sind:

1, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493, 5777, 5993 (Folge A060003 in OEIS)

Diese Zahlen nennt man Stern-Zahlen. Nur zwei dieser Zahlen sind keine Primzahlen, nämlich 5777 und 5993.

• Wie oben schon erwähnt, hat eine Zahl Zahl ${\displaystyle n}$ oft mehrere Goldbach-Darstellungen. Die folgende Liste gibt die kleinste Zahl ${\displaystyle n}$ an, die ${\displaystyle k}$ Goldbach-Darstellungen hat (mit aufsteigendem ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$, wobei auch ${\displaystyle p=1}$ und ${\displaystyle b=0}$ erlaubt ist):

1, 3, 13, 19, 55, 61, 139, 139, 181, 181, 391, 439, 559, 619, 619, 829, 859, 1069, 1081, 1459, 1489, 1609, 1741, 1951, 2029, 2341, 2341, 3331, 3331, 3331, 3961, 4189, 4189, 4261, 4801, 4801, 5911, 5911, 5911, 6319, 6319, 6319, 8251, 8251, 8251, 8251, 8251 (Folge A007697 in OEIS)

Beispiel:

An der siebenten und achten Stelle der obigen Liste steht die Zahl ${\displaystyle n=139}$. Tatsächlich gibt es für diese Zahl (in diesem Fall eine Primzahl) acht verschiedene (und somit auch sieben verschiedene) Goldbach-Darstellungen, so viel, wie keine andere kleinere Zahl vorher (bis zu dieser Zahl hatte ${\displaystyle n=61}$ den Rekord mit sechs Goldbach-Darstellungen):

${\displaystyle 139=139+2\cdot 0^{2}}$ mit ${\displaystyle 139\in \mathbb {P} }$, ist aber genau genommen laut der Definition von Stern-Primzahlen nicht erlaubt, weil ${\displaystyle b=0}$

${\displaystyle 139=137+2\cdot 1^{2}}$ mit ${\displaystyle 137\in \mathbb {P} }$

${\displaystyle 139=131+2\cdot 2^{2}}$ mit ${\displaystyle 131\in \mathbb {P} }$

${\displaystyle 139=121+2\cdot 3^{2}}$ mit ${\displaystyle 121=11^{2}\not \in \mathbb {P} }$, also keine Goldbach-Darstellung

${\displaystyle 139=107+2\cdot 4^{2}}$ mit ${\displaystyle 107\in \mathbb {P} }$

${\displaystyle 139=89+2\cdot 5^{2}}$ mit ${\displaystyle 89\in \mathbb {P} }$

${\displaystyle 139=67+2\cdot 6^{2}}$ mit ${\displaystyle 67\in \mathbb {P} }$

${\displaystyle 139=41+2\cdot 7^{2}}$ mit ${\displaystyle 41\in \mathbb {P} }$

${\displaystyle 139=11+2\cdot 8^{2}}$ mit ${\displaystyle 11\in \mathbb {P} }$

Wissenswertes

• Bei Primzahlzwillingen ${\displaystyle (p,p+2)}$ hat die größere der beiden Primzahlen die Goldbach-Darstellung ${\displaystyle p+2=p+2\cdot 1^{2}}$.
• Bei Primzahlvierlingen ${\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)}$ hat die größte dieser vier Primzahlen die Goldbach-Darstellung ${\displaystyle p+8=p+2\cdot 2^{2}}$.
• Schon Leonhard Euler vermutete, dass je größer eine Primzahl ${\displaystyle p}$ ist, desto mehr (Goldbach-)Darstellungen der Form ${\displaystyle p=q+2b^{2}}$ gibt es für diese Zahl. Deswegen war schon er der Meinung, dass die obige (kurze) Liste der 8 Stern-Primzahlen alle Stern-Primzahlen sind, die existieren.
• Goldbach vermutete in seinem Brief an Leonhard Euler, dass jede ungerade ganze Zahl ${\displaystyle n}$ in der Form ${\displaystyle n=q+2b^{2}}$ mit primen ${\displaystyle q\in \mathbb {P} }$ oder ${\displaystyle q=1}$ und ${\displaystyle a\geq 0}$ geschrieben werden kann und führte als Beispiel unter anderem auch für die Stern-Primzahl ${\displaystyle p=17}$ eine Darstellung der Form ${\displaystyle 17=17+2\cdot 0^{2}}$ an.^[2] Damit hat er auch für alle anderen Primzahlen Darstellungen der Form ${\displaystyle p=p+2\cdot 0^{2}}$ gefunden, die allerdings nicht der heutigen Definition von Stern-Primzahlen entsprechen, weil mittlerweile ${\displaystyle b\not =0}$ verlangt wird. Insofern behauptete er, dass alle Stern-Zahlen (mit der heutigen Definition) Primzahlen sind. Mittlerweile sind aber zwei (ungerade) Stern-Zahlen bekannt, die keine Primzahlen sind, nämlich ${\displaystyle 5777=53\cdot 109}$ und ${\displaystyle 5993=13\cdot 461}$, welche definitiv keine Darstellung der Form ${\displaystyle q+2b^{2}}$ besitzen. Somit irrte sich Goldbach.
• Moritz Stern untersuchte ab 1856 mit seinen Studenten alle ungeraden Zahlen bis ${\displaystyle 9000}$ und fand auch die beiden Stern-Zahlen ${\displaystyle 5777}$ und ${\displaystyle 5993}$, welche keine Primzahlen sind. Allerdings führte er die Primzahl ${\displaystyle p=17}$ als kleinste Stern-Primzahl an und nicht die tatsächlich kleinste ungerade Stern-Primzahl ${\displaystyle p=3}$. Der Grund dafür ist der, dass damals viele Mathematiker die Zahl ${\displaystyle 1}$ noch als Primzahl betrachteten,^[4] weswegen ${\displaystyle p=3}$ nicht als Stern-Primzahl gegolten hat, weil diese Zahl die Darstellung ${\displaystyle 3=1+2\cdot 1^{2}}$ hat.^[2]

Weblinks

• Stern prime. In: PlanetMath. (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Comments und Links zu OEIS A042978
2. ↑ ^{a b c d} Laurent Hodges: A lesser-known Goldbach conjecture
3. ↑ Toying with a lesser known Goldbach Conjecture…
4. ↑ Chris K. Caldwell, Angela Reddick, Yeng Xiong: The History of the Primality of One: A Selection of Sources. Journal of Integer Sequences 15, Article 12.9.8, 2012, S. 1–40, abgerufen am 10. Februar 2020.