Steinscher Algorithmus

Der steinsche Algorithmus oder binäre euklidische Algorithmus dient der effizienten Berechnung des größten gemeinsamen Teilers. Der Algorithmus wurde 1967 vom Physiker Josef Stein (Hebräische Universität Jerusalem) vorgestellt.^[1] Donald E. Knuth zufolge entwickelten R. Silver und J. Tersian den Algorithmus bereits 1962, publizierten ihn aber nicht.^[2]

Der Algorithmus nutzt folgende Rechenregeln:

• ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)=2\operatorname {ggT} (a/2,b/2)}$, falls ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gerade.
• ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)=\operatorname {ggT} (a/2,b)}$, falls ${\displaystyle a}$ gerade und ${\displaystyle b}$ ungerade.
• ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)=\operatorname {ggT} ((a-b)/2,b)}$, falls ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ungerade.

Er ist auf Binärrechnern schneller als der jahrtausendealte euklidische Algorithmus, weil keine zeitaufwändigen Divisionen (bzw. Modulooperationen) durchgeführt werden müssen. Es sind nur Divisionen durch 2 erforderlich, wofür man nur das Bitmuster um eins nach rechts, zum niederwertigen Ende, schieben muss. Die meisten Prozessoren besitzen dafür ein effizientes Schieberegister.

Zu beachten ist, dass der steinsche Algorithmus nur dann richtig funktioniert, wenn vorzeichenlose Integer verwendet werden. Negative Zahlen müssen zuerst in positive überführt werden. Der euklidische Algorithmus hingegen funktioniert auch mit vorzeichenbehafteten Integertypen.

Prinzip

Zu bestimmen sei der größte gemeinsame Teiler der beiden positiven Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$. Dazu wird als erstes eine Variable ${\displaystyle k}$ definiert und dieser wird der Wert 0 zugewiesen. Dann werden sowohl ${\displaystyle a}$ als auch ${\displaystyle b}$ solange durch 2 geteilt, bis ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ nicht mehr durch 2 teilbar sind. Bei jeder Halbierung wird ${\displaystyle k}$ um 1 erhöht.

Der zweite Teil benötigt eine zusätzliche Variable ${\displaystyle t}$, der die Differenz von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ zugewiesen wird. Jeder gemeinsame Teiler von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ist auch Teiler von ${\displaystyle t}$, sodass gilt: ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)=\operatorname {ggT} (a,t)=\operatorname {ggT} (b,t)}$. Die Variable ${\displaystyle t}$ wird anschließend noch, solange es sich um eine gerade Zahl handelt, durch 2 geteilt. Dann wird ${\displaystyle a}$ durch ${\displaystyle t}$ ersetzt und mit dem neuen ${\displaystyle a}$ ein neues ${\displaystyle t}$ berechnet. Der Algorithmus ist beendet, sobald ${\displaystyle t=0}$ gilt. Das Ergebnis ist dann ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)=a\cdot 2^{k}}$.^[3]

Algorithmus

Die hier in Pseudocode beschriebene Variante des Algorithmus entspricht im Wesentlichen derjenigen, die Donald E. Knuth in seinem Werk The Art of Computer Programming beschreibt.

STEIN(a,b)
  wenn a = 0
      dann return b
  k ${\displaystyle \leftarrow }$ 0
  solange a und b gerade Zahlen sind
      a ${\displaystyle \leftarrow }$ a/2
      b ${\displaystyle \leftarrow }$ b/2
      k ${\displaystyle \leftarrow }$ k + 1
  wenn a eine ungerade Zahl ist
      dann t ${\displaystyle \leftarrow }$ -b
      sonst t ${\displaystyle \leftarrow }$ a
  solange t ≠ 0
      solange t eine gerade Zahl ist
          t ${\displaystyle \leftarrow }$ t/2
      wenn t > 0
          dann a ${\displaystyle \leftarrow }$ t
          sonst b ${\displaystyle \leftarrow }$ -t
      t ${\displaystyle \leftarrow }$ a - b
  return a ${\displaystyle \cdot }$ 2k

Viele Prozessoren haben heutzutage Befehlssätze, die sehr schnell (oft in einem Takt) bestimmen können, wie oft eine Ganzzahl durch Zwei teilbar ist. Zum Beispiel stellt die x86-Architektur seit dem 80386 für diesen Zweck die Instruktion bsf zur Verfügung. Unter Verwendung einer solchen Instruktion ist es möglich, zwei der drei Schleifen des Algorithmus einzusparen und damit seine Laufzeit signifikant zu verbessern. Die folgende Implementierung in der Programmiersprache C nutzt zu diesem Zwecke die POSIX-Standardfunktion ffs (find first set):

#include <stdlib.h>  /* für abs() */
#include <strings.h> /* für ffs() */

int ggt(int a, int b)
{
    register int c;

    if ((a == 0) || (b == 0)) // falls eines oder beide Argumente 0 sind,
        return a | b; // ist das andere Argument oder 0 das Ergebnis

    // dies kann weggelassen werden, wenn a und b nicht negativ sein können
    a = abs(a);
    b = abs(b);

    c = ffs(a | b) - 1;
    a >>= ffs(a) - 1;

    do {
        b >>= ffs(b) - 1;
        if (a > b) {
            // vertausche Variablen, damit bei Subtraktion kein Überlauf stattfinden kann
            int temp = b;
            b = a;
            a = temp;
        }

        b -= a;
    } while (b != 0);

    return a << c;
}

Eine Implementierung für vorzeichenlose Ganzzahlen in x86-Assembler, die bsf nutzt:

ggt:
        mov     ecx, 4[esp]     ; Lade a
        mov     eax, 8[esp]     ; Lade b
        test    ecx, ecx        ; Vergleiche a mit 0:
        jz      done            ;  falls a gleich 0 ist das Ergebnis b

        cmp     eax, ecx        ; Vergleiche a mit b:
        je      done            ;  falls a gleich b ist das Ergebnis b

        mov     edx, eax        ; Lade b
        mov     eax, ecx        ; Lade a
        test    edx, edx        ; Vergleiche b mit 0:
        jz      done            ;  falls b gleich 0 ist das Ergebnis a

        push    ebx
        bsf     ecx, edx        ; Bestimme grösste Zweierpotenz von b
        bsf     ebx, eax        ; Bestimme grösste Zweierpotenz von a
        cmp     ebx, ecx        ; Vergleiche beide
        cmova   ebx, ecx        ;  und merke deren Minimum
        shr     edx, cl         ; Dividiere b durch grösste Zweierpotenz

next:
        bsf     ecx, eax        ; Bestimme grösste Zweierpotenz von a
        shr     eax, cl         ; Dividiere a durch grösste Zweierpotenz
        mov     ecx, edx
        cmp     edx, eax        ; Vergleiche b mit a
        cmovb   edx, eax        ;  und vertausche beide, falls b kleiner a
        cmovb   eax, ecx
        sub     edx, eax        ; Subtrahiere a von b
        jnz     next            ;  und wiederhole, bis b gleich 0

        mov     ecx, ebx
        shl     eax, cl         ; Multipliziere a mit 2**Minimum
        pop     ebx
done:
        ret

Quellen

1. ↑ J. Stein: Computational problems associated with Racah algebra. In: Journal of Computational Physics. Band 1, Nr. 3, 1967, ISSN 0021-9991, S. 397–405, doi:10.1016/0021-9991(67)90047-2. 
2. ↑ Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming. Band 2: Seminumerical Algorithms. 3. Auflage. Addison-Wesley Professional, 1997, ISBN 0-201-89684-2, S. 338–341.
3. ↑ Alexander Weers: Größter gemeinsamer Teiler. In: Formelsammlung24.de. Archiviert vom Original am 28. März 2018; abgerufen am 27. März 2018.