Stabile Homologie

Als stabile Homologie bezeichnet man in der Mathematik die sich ab einem gewissen Index ${\displaystyle n(i)}$ nicht mehr ändernden Homologiegruppen ${\displaystyle H_{i}(G_{n})}$ von Gruppen einer natürlichen Folge ${\displaystyle G_{n}}$.

Symmetrische Gruppen

Die Homologie ${\displaystyle H_{i}(S_{n})}$ der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ ändert sich nicht mehr für ${\displaystyle n\geq 2i}$.^[1]

Zopfgruppen

Die Homologie ${\displaystyle H_{i}(B_{n})}$ der Zopfgruppe ${\displaystyle B_{n}}$ ändert sich nicht mehr für ${\displaystyle n\geq 2i}$.^[2]

Allgemeine lineare Gruppe

Die Homologie ${\displaystyle H_{i}(GL(n,R))}$ der allgemeinen linearen Gruppe über einem kommutativen noetherschen Ring endlicher Krull-Dimension ${\displaystyle dim(R)}$ ändert sich nicht mehr für ${\displaystyle n\geq 2i+dim(R)+2}$.^[3]

Orthogonale Gruppe

Die Homologie ${\displaystyle H_{i}(O(n))}$ der orthogonalen Gruppen ${\displaystyle O(n,K)}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ${\displaystyle char(K)\not =2}$ ändert sich nicht mehr für ${\displaystyle n\geq i+1}$.^[4]

Spezielle lineare Gruppe

Die Homologie ${\displaystyle H_{i}(SL(n,K))}$ der speziellen linearen Gruppe über einem Körper der Charakteristik ${\displaystyle 0}$ ändert sich nicht mehr für ${\displaystyle n\geq i+1}$.^[5]

Abbildungsklassengruppe

Die Homologie ${\displaystyle H_{i}(MCG(S_{g,r}))}$ der Abbildungsklassengruppen der Flächen vom Geschlecht ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle r\geq 1}$ Randkomponenten ändert sich nicht mehr für ${\displaystyle g\geq {\frac {3}{2}}i-{\frac {1}{2}}}$.^[6]

Automorphismengruppen freier Gruppen

Die Homologie ${\displaystyle H_{i}(Aut(F_{n}))}$ der Automorphismengruppen freier Gruppen ändert sich nicht mehr für ${\displaystyle n\geq 2i+3}$.^[7]

Einzelnachweise

1. ↑ M. Nakaoka: Homology of the infinite symmetric group. Ann. Math. 73, 229–257 (1961)
2. ↑ W. Arnold: The cohomology ring of the colored braid group. Mathematical Notes 5, 138–140 (1969)
3. ↑ W. v. d. Kallen: Homology stability for linear groups. Invent. Math. 60, 269–295 (1980)
4. ↑ J.-L. Cathelineau: Homology stability for orthogonal groups over algebraically closed fields. Ann. ÉNS 40, 487–517 (2007)
5. ↑ K. Hutchinson, L. Tao: Homology stability for the special linear group of a field and Milnor-Witt K-theory. Doc. Math. Extra, 267–315 (2010)
6. ↑ J. Harer: Stability of the homology of the mapping class groups of orientable surfaces. Annals of Mathematics. 121, 215–249 (1985)
7. ↑ A. Hatcher, K. Vogtmann: Cerf theory for graphs. J. London Math. Soc. 58, 633–655 (1998)