Spitzenform

Randpunkte im Unendlichen sind die Spitzen von SL(2,Z).

In der Zahlentheorie wird eine holomorphe Modulform ${\displaystyle f}$ zur Modulgruppe ${\displaystyle \Gamma =SL(2,\mathbb {Z} )}$ (manchmal wird auch ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$ als Modulgruppe definiert) als Spitzenform (engl.: cusp form ) bezeichnet, wenn sie in der Spitze (cusp), das heißt für ${\displaystyle Im\,z\to \infty }$ verschwindet.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass der konstante Term ${\displaystyle a_{0}=f(0)}$ in der Fourier-Entwicklung

${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}e^{2\pi inz}=\sum a_{n}q^{n}}$

mit ${\displaystyle q=e^{2\pi iz}}$, verschwindet:

${\displaystyle a_{0}=0}$.

und keine negativen n in der Entwicklung vorhanden sind (die Modulform ist holomorph). Dann verschwindet ${\displaystyle f}$ in der Spitze ${\displaystyle q=0}$.

Man kann auch Spitzenformen zu Kongruenzuntergruppen ${\displaystyle \Gamma _{*}}$ der Modulgruppe betrachten, dann gibt es im Allgemeinen mehrere Spitzen, parametrisiert durch rationale Zahlen im Unendlichen. Das entspricht dem Grenzwert ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$ für ${\displaystyle z\to \infty }$ im Transformationsgesetz ${\displaystyle z\to {\frac {az+b}{cz+d}}}$ der Modulform, wobei sich nur endliche viele Spitzen im Unendlichen ergeben als Repräsentant jeweils eines Orbits. Kompaktifiziert man den Quotientenraum der oberen Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} \backslash \Gamma _{*}}$ durch Hinzunahme der Spitzen erhält man die Riemannsche Flächen der zugehörigen Modulkurven.

Spitzenformen mit gegebenem Gewicht

Im Folgenden werden die Spitzenformen zur vollen Modulgruppe betrachtet. Aus der Definition folgt, dass es für ungerade Gewichte keine nicht-verschwindenden Spitzenformen gibt. Die Dimension des Raumes der Spitzenformen mit gegebenem Gewicht ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ kann mit dem Satz von Riemann-Roch berechnet werden. Die kleinsten Gewichte, für die nichttriviale Spitzenformen existieren, sind

${\displaystyle k=12,16,18,20,22,26}$,

in allen diesen Fällen ist der Raum der Spitzenformen 1-dimensional, es gibt zu diesen Gewichten also jeweils eine bis auf Multiplikation mit komplexen Zahlen eindeutige Spitzenform. Allgemein ist die Dimension des Vektorraums der Spitzenformen zum Gewicht ${\displaystyle k=2m}$ gleich ${\displaystyle \left[{\frac {m}{6}}\right]-1}$ falls ${\displaystyle m\equiv 1\ mod\ 6}$ ist und gleich ${\displaystyle \left[{\frac {m}{6}}\right]}$ sonst.

Beispielsweise ist die bis auf Multiplikation mit komplexen Zahlen eindeutige Spitzenform zum Gewicht 12 die Diskriminante

${\displaystyle \Delta (z)=(2\pi )^{12}\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)\,{\mathrm {e} }^{2\pi inz}}$,

deren Fourier-Koeffizienten ${\displaystyle \tau (n)}$ die Ramanujansche tau-Funktion definieren.

Die Fourier-Koeffizienten einer Spitzenform zum Gewicht ${\displaystyle k=2m}$ verschwinden in ${\displaystyle 0}$ zur Ordnung ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{n}=O(n^{k})}$.

Das Petersson-Skalarprodukt auf dem Raum der Spitzenformen ist definiert durch

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\mathrm {F} }f(\tau ){\overline {g(z)}}(\operatorname {Im} z)^{k}{\rm {d}}\nu (z)}$,

wobei ${\displaystyle \mathrm {F} =\{z\in \mathrm {H} |\left|\operatorname {Re} z\right|\leq {\frac {1}{2}},\left|z\right|\geq 1\}}$ der Fundamentalbereich der Modulgruppe ${\displaystyle \Gamma }$ und ${\displaystyle {\rm {d}}\nu (z)=y^{-2}{\rm {d}}x{\rm {d}}y}$ mit ${\displaystyle z=x+iy}$ das hyperbolische Volumenelement ist.

Literatur

• Tom Apostol: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 41. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-97127-0

Weblinks

• The L-functions and modular forms data base
• Cusp Form (MathWorld)