Spitze (Differentialgeometrie)

Mannigfaltigkeit mit einer Spitze

Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie werden gewisse „sich sehr schnell verengende Enden“ als Spitzen bezeichnet.

Definition

Eine Spitze ist ein Ende einer Riemannschen Mannigfaltigkeit , dessen Umgebung sich als verzerrtes Produkt

parametrisieren lässt mit

.

Hierbei ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension und ist der Parameter des zweiten Faktors in .

Die Mannigfaltigkeit wird als Querschnitt der Spitze (engl.: cusp cross section) bezeichnet.

Beispiele

Spitzen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten

Die Spitzen einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit sind isometrisch zu einer Untermannigfaltigkeit der Form

,

wobei ein Horoball um einen Punkt im Unendlichen und eine diskrete Gruppe von parabolischen Isometrien mit Fixpunkt ist.

Damit es sich um eine Spitze im Sinne obiger Definition handelt, muss

sein.

In der Hyperbolischen Geometrie (und allgemeiner der Theorie lokal symmetrischer Räume ) bezeichnet man einen Randpunkt im Unendlichen oft auch dann als Spitze, wenn es eine nicht-triviale diskrete Gruppe parabolischer Isometrien mit als gemeinsamem Fixpunkt gibt. Man verlangt also nicht, dass ist.

Zu einer in diesem Sinne definierten Spitze kann man ebenfalls den Quotienten betrachten, der ein Ende der Mannigfaltigkeit ist. Wenn ist, dann hat dieses Ende unendliches Volumen und ist nicht von der oben definierten Form. Man spricht dann von einer Rang--Spitze.

Aus dem Lemma von Margulis folgt, dass der dünne Teil einer orientierbaren hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit entweder eine Spitze vom Rang oder oder eine Tubenumgebungen einer geschlossenen Geodäten ist. Die Spitzen vom Rang 1 sind homöomorph zu mit , die Spitzen vom Rang 2 sind homöomorph zu für den Torus .

Literatur

Michail Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. ISBN 978-0-8176-4912-8

Siehe auch

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Thic-Thin decomposition of a finite-volume manifold..