Spin-Gruppe

Die Spin-Gruppe ist ein Objekt aus der Mathematik und Physik, insbesondere aus den Bereichen der Spektralgeometrie und Quantenmechanik. Eine zentrale Eigenschaft der Spin-Gruppe ist, dass sie eine 2-fache Überlagerung der Drehgruppe ist.

Definition

Zu einem endlichdimensionalen Vektorraum über einem Körper und einer quadratischen Form auf definiert man die Clifford-Algebra als die Algebra über , die von und dem Einselement erzeugt wird und deren Multiplikation die Relation

erfüllt. Durch diese Beziehung ist die Clifford-Algebra bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Die Spin-Gruppe zu dieser quadratischen Form ist dann definiert als Untergruppe der Produkte einer geraden Anzahl von Einheitsvektoren

.

Die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form

auf dem -Vektorraum wird kurz als bezeichnet.

Für bezeichnet man mit die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form

auf dem -Vektorraum .

Beispiele

Für hat man die folgenden Isomorphismen zu klassischen Lie-Gruppen:

Spin(n) als 2-fache Überlagerung der SO(n)

Satz: ist eine zweifache Überlagerung der .

Beweisskizze: In der Clifford-Algebra gilt für alle mit . Die Abbildung

ist eine Spiegelung des und sie ist kompatibel mit Produkten, definiert also eine Darstellung

.

Weil jedes Element aus Produkt einer geraden Anzahl von Spiegelungen ist, erhält man eine surjektive Abbildung, von der man zeigen kann, dass sie eine Überlagerung ist. Der Kern besteht nur aus , denn Elemente im Kern müssen mit allen kommutieren, also zum Zentrum der Clifford-Algebra gehören, welches aber nur aus skalaren Vielfachen von besteht. sind die einzigen zu gehörenden skalaren Vielfachen von , wie man mittels der in gültigen Formel sieht, aus der für Vielfache von folgt, dass ihr Quadrat ist.

Für ist einfach zusammenhängend und die universelle Überlagerung von .

Analog ist eine zweifache Überlagerung von , der Zusammenhangskomponente der Eins von . Für ist zusammenhängend, dagegen hat zwei Zusammenhangskomponenten.

Lie-Algebra von Spin(n)

Die Lie-Algebra von ist der von den Produkten mit aufgespannte Unterraum von .

Die Überlagerung induziert einen Isomorphismus zur Lie-Algebra der schiefsymmetrischen Matrizen mit Spur . Dabei entspricht der schiefsymmetrischen Matrix mit Einträgen .

Darstellungen von Spin(n)

Durch den Homomorphismus werden alle Darstellungen von auch zu Darstellungen von . Das sind zunächst die Standard-Darstellung von auf und weiter die induzierten Darstellungen auf den äußeren Algebren für

Darüber hinaus gibt es noch für ungerade die Spinor-Darstellung und gerade die beiden Halbspinor-Darstellungen von , welche sich nicht als Darstellungen von faktorisieren lassen. Zusammen mit den zuvorgenannten erhält man so alle Fundamentaldarstellungen von .

Literatur

  • John Roe: Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods. Second Edition. Chapman & Hall, CRC Research Notes in Mathematics Series, ISBN 978-0-582-32502-9.
  • Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5.
  • Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.