Spezifischer Widerstand

Der spezifische Widerstand (kurz für spezifischer elektrischer Widerstand oder auch Resistivität) ist eine temperaturabhängige Materialkonstante mit dem Formelzeichen ${\displaystyle \rho }$ (griechisch rho). Er wird vor allem zur Berechnung des elektrischen Widerstandes einer (homogenen) elektrischen Leitung oder einer Widerstands-Geometrie genutzt. Meistens wird der spezifische Widerstand in der Einheit ${\displaystyle \mathrm {\tfrac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}} }$ angegeben. Die kohärente SI-Einheit ist das Ohmmeter (${\displaystyle \Omega \cdot \mathrm {m} }$).

Der Kehrwert des spezifischen Widerstands ist die elektrische Leitfähigkeit.

Ursache und Temperaturabhängigkeit

Verantwortlich für den spezifischen elektrischen Widerstand in reinen Metallen sind zwei Anteile, die sich gemäß der Matthiessenschen Regel überlagern:

• Stöße der Ladungsträger (hier Elektronen) mit Gitterschwingungen (Phononen); dieser Anteil ist von der Temperatur abhängig, und
• Stöße der Ladungsträger (hier Elektronen) mit Verunreinigungen, Fehlstellen und Gitterbaufehlern; dieser Anteil ist nicht von der Temperatur, sondern von der Konzentration der Gitterfehler abhängig.

Der temperaturabhängige Anteil am spezifischen Widerstand ist bei allen Leitern in einem jeweils begrenzten Temperaturbereich näherungsweise linear:

${\displaystyle \rho (T)=\rho (T_{0})\cdot (1+\alpha \cdot (T-T_{0}))}$

wobei α der Temperaturkoeffizient, T die Temperatur und T₀ eine beliebige Temperatur, z. B. T₀ = 293,15 K = 20 °C, bei der der spezifische elektrische Widerstand ρ(T₀) bekannt ist (siehe Tabelle unten).

Je nach Vorzeichen des linearen Temperaturkoeffizienten unterscheidet man zwischen Kaltleitern (engl.: positive temperature coefficient of resistance, PTC) und Heißleitern (engl.: negative temperature coefficient of resistance, NTC). Die lineare Temperaturabhängigkeit gilt nur in einem begrenzten Temperaturintervall. Dieses kann bei reinen Metallen vergleichsweise groß sein. Darüber hinaus muss man Korrekturen anbringen (siehe auch: Kondo-Effekt).

Reine Metalle haben einen positiven Temperaturkoeffizienten des spezifischen elektrischen Widerstandes von etwa 0,36 %/K bis über 0,6 %/K. Bei Platin (0,385 %/K) nutzt man das, um Platin-Widerstandsthermometer zu bauen.

Der spezifische elektrische Widerstand von Legierungen ist nur gering von der Temperatur abhängig, hier überwiegt der Anteil der Störstellen. Ausgenutzt wird dies beispielsweise bei Konstantan oder Manganin, um einen besonders geringen Temperaturbeiwert bzw. einen temperaturstabilen Widerstandswert zu erhalten.

Spezifischer Widerstand als Tensor

Bei den meisten Materialien ist der elektrische Widerstand richtungsunabhängig (isotrop). Für den spezifischen Widerstand genügt dann eine einfache skalare Größe, also eine Zahl mit Einheit.

Anisotropie beim elektrischen Widerstand findet man bei Einkristallen (oder Vielkristallen mit Vorzugsrichtung) mit weniger als kubischer Symmetrie. Die meisten Metalle haben kubische Kristallstruktur und sind schon daher isotrop. Zusätzlich hat man oft eine viel-kristalline Form ohne ausgeprägte Vorzugsrichtung (Textur). Ein Beispiel für anisotropen spezifischen Widerstand ist Graphit als Einkristall oder mit Vorzugsrichtung. Der spezifische Widerstand ist dann ein Tensor 2. Stufe, der die elektrische Feldstärke ${\displaystyle {\vec {E}}}$ mit der elektrischen Stromdichte ${\displaystyle {\vec {j}}}$ verknüpft.

${\displaystyle {\vec {E}}=\rho \cdot {\vec {j}}}$

Zusammenhang mit dem elektrischen Widerstand

Der elektrische Widerstand eines Leiters mit einer über seine Länge konstanten Querschnittsfläche (Schnitt senkrecht zur Längsachse eines Körpers) beträgt:

${\displaystyle R=\rho \cdot {\frac {l}{A}}}$

wobei ${\displaystyle R}$ der elektrische Widerstand, ${\displaystyle \rho }$ der spezifische Widerstand, ${\displaystyle l}$ die Länge und ${\displaystyle A}$ die Querschnittsfläche des Leiters ist.

Folglich kann man ${\displaystyle \rho }$ aus der Messung des Widerstandes eines Leiterstückes bekannter Geometrie bestimmen:

${\displaystyle \rho ={R}\cdot {\frac {A}{l}}}$

Die Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$ eines runden Leiters (zum Beispiel eines Drahtes) errechnet sich aus dem Durchmesser ${\displaystyle d}$ zu:

${\displaystyle A=\pi \cdot {\frac {d^{2}}{4}}}$

Die Voraussetzung für die Gültigkeit dieser Formel für den elektrischen Widerstand ${\displaystyle R}$ ist eine konstante Stromdichteverteilung über den Leiterquerschnitt ${\displaystyle A}$, das heißt, an jedem Punkt des Leiterquerschnitts ist die Stromdichte ${\displaystyle J}$ gleich groß. Näherungsweise ist das gegeben, wenn die Länge des Leiters groß im Vergleich zu den Abmessungen seines Querschnitts ist und der Strom ein Gleichstrom oder niederfrequent ist. Bei hohen Frequenzen führen der Skin-Effekt und bei inhomogenen hochfrequenten Magnetfeldern und Geometrien der Proximity-Effekt zu einer inhomogenen Stromdichteverteilung.

Weitere aus dem spezifischen Widerstand ableitbare Kenngrößen sind:

• der Flächenwiderstand R_□ (Schichtwiderstand einer Widerstandsschicht); Einheit ${\displaystyle \Omega }$
• der Widerstand pro Länge eines Drahtes oder Kabels R/l; Einheit ${\displaystyle \Omega }$/m

Einteilung von Materialien

Bei elektrischen Leitern wird der spezifische Widerstand statt in ${\displaystyle \Omega \cdot \mathrm {m} }$ oft in der für Drähte anschaulicheren Form ${\displaystyle \mathrm {\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}} }$ angegeben. Weiterhin ist auch ${\displaystyle \Omega \cdot \mathrm {cm} }$ üblich.

Es gilt:

${\displaystyle \mathrm {1\,{\frac {\Omega \,mm^{2}}{m}}=10^{-6}\,\Omega \,m} }$

${\displaystyle \mathrm {1\,\Omega \,m=100\,\Omega \,cm} }$

Der spezifische Widerstand eines Materials wird häufig für die Einordnung als Leiter, Halbleiter oder Isolator verwendet. Die Unterscheidung erfolgt anhand des spezifischen Widerstands:^[1]

• Leiter: ${\displaystyle \rho <100\,\mathrm {\frac {\Omega mm^{2}}{m}} }$
• Halbleiter: ${\displaystyle \rho =100{\text{ bis }}10^{12}\,\mathrm {\frac {\Omega mm^{2}}{m}} }$
• Isolatoren oder Nichtleiter: ${\displaystyle \rho >10^{12}\,\mathrm {\frac {\Omega mm^{2}}{m}} }$

Diese Einteilung ist lediglich als Richtwert zu betrachten und kann in der Literatur auch um bis zu zwei Größenordnungen davon abweichen.^{[2][3][4][5][6]} Deshalb ist eine Einteilung nach der Lage der Fermi-Energie in der Bandstruktur und nach Art und Beweglichkeit der Ladungsträger häufig eindeutiger.

Spezifischer Widerstand verschiedener Materialien

Für eine ausführliche Tabelle von Temperaturkoeffizienten siehe Temperaturkoeffizient.

Beispiel

Es sei die Länge eines unbekannten Metalldrahtes ${\displaystyle l=2\,\mathrm {m} }$, dessen Querschnitt ${\displaystyle A=0{,}01\,\mathrm {mm} ^{2}}$, die Testspannung betrage ${\displaystyle U=2\,\mathrm {V} }$ und der Strom sei zu ${\displaystyle I=0{,}57\,\mathrm {A} }$ gemessen worden.

Gesucht ist der spezifische elektrische Widerstand ${\displaystyle \rho }$ des Draht-Materials.

Es gilt

${\displaystyle R={\rho }\cdot {\frac {l}{A}}={\frac {U}{I}}}$

Nach ${\displaystyle \rho }$ umgestellt, ergibt sich

${\displaystyle {\rho }={\frac {R\cdot A}{l}}={\frac {U\cdot A}{I\cdot l}}}$

und mit den Werten wird

${\displaystyle \rho ={\frac {3{,}5\,\Omega \cdot 0{,}01\,\mathrm {mm} ^{2}}{2\,\mathrm {m} }}=0{,}0175\,\mathrm {\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}} }$

Der so bestimmte spezifische Widerstand des untersuchten Drahtes deutet darauf hin, dass es sich wohl um Kupfer handeln könnte.

Literatur

Als Standardwerk für tabellarische Daten zum spezifischen (elektrischen) Widerstand empfiehlt sich:

• Kohlrausch - Tabelle 8.26 Spezifischer el. Widerstand von Metallen bei 0 °C, Temperaturkoeffizient 0-100 °C (PDF)
• David R. Lide: CRC Handbook of Chemistry and Physics: A ready-reference book of chemical and physical data. 90. Auflage. CRC Taylor & Francis, Boca Raton FL 2009, ISBN 978-1-4200-9084-0. 

Weblinks

• Conductivity and Resistivity Values for Iron & Alloys. (PDF; 116 kB) Collaboration for NDT Education, März 2002 (Tabelle mit spezifischem Widerstand vieler Legierungen).
• Virtuelles Experiment zum Spezifischen Widerstand

Einzelnachweise

1. ↑ Siegfried Hunklinger: Festkörperphysik. Oldenbourg Verlag, 2009, ISBN 978-3-486-59045-6, S. 378 (Halbleiter: ρ = 10⁻⁴…10⁷ Ω·m). 
2. ↑ Karl-Heinrich Grote, Jörg Feldhusen: Dubbel: Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-17305-9, S. V 14 (Halbleiter: ρ = 10⁻³…10⁸ Ω·m). 
3. ↑ Wolfgang Bergmann: Werkstofftechnik. 4. Auflage. Band 2. Hanser Verlag, 2009, ISBN 978-3-446-41711-3, S. 504 (Halbleiter: ρ = 10⁻⁵…10⁹ Ω·m). 
4. ↑ Peter Kurzweil, Bernhard Frenzel, Florian Gebhard: Physik Formelsammlung: mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-0875-2, S. 211 (Halbleiter: ρ = 10⁻⁵…10⁷ Ω·m). 
5. ↑ Horst Czichos, Manfred Hennecke: Das Ingenieurwissen. mit 337 Tabellen. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20325-4, S. D 61 (Halbleiter: ρ = 10⁻⁵…10⁶ Ω·m). 
6. ↑ Ekbert Hering, Karl-Heinz Modler: Grundwissen des Ingenieurs. Hanser Verlag, 2007, ISBN 978-3-446-22814-6, S. D 574 (Halbleiter: ρ = 10⁻⁴…10⁸ Ω·m). 
7. ↑ ^{a b c d e f g h} David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. 90. Auflage. (Internet-Version: 2010), CRC Press / Taylor and Francis, Boca Raton FL, Properties of Solids, S. 12-41 – 12-42.
8. ↑ etwa Zehntelung alle 100 K
9. ↑ www2.hs-esslingen.de
10. ↑ Stainless Steels Chromium-Nickel (Memento vom 17. Februar 2004 im Internet Archive; PDF)
11. ↑ Wilfried Plaßmann, Detlef Schulz (Hrsg.): Handbuch Elektrotechnik: Grundlagen und Anwendungen für Elektrotechniker. Vieweg+Teubner, 5. Aufl., 2009, S. 231.
12. ↑ Spezifikationen des Herstellers AURUBIS: Reinkupfer (100% IACS) = 0,01721 (Memento vom 28. April 2014 im Internet Archive)
13. ↑ Elektrokupfer E-Cu58 ident. Cu-ETP1, 1.69e^-2 bis 1.75e^-2, gelegentlich ≈1.9e^-2 Ω · mm²/m
14. ↑ Günter Gottstein: Materialwissenschaft und Werkstofftechnik Physikalische Grundlagen. 4., neu bearb. Aufl. 2014. Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-36603-1. 
15. ↑ Datenblatt einer für Präzisionswiderstände geeigneten Legierung
16. ↑ L F Kozin, S C Hansen, Mercury Handbook, Royal Society of Chemistry 2013, Seite 25