Spezielle lineare Gruppe

Verknüpfungstafel von ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {F} _{3})}$

Die spezielle lineare Gruppe vom Grad ${\displaystyle n}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ (oder allgemeiner einem kommutativen, unitären Ring) ist die Gruppe aller ${\displaystyle n\times n}$ Matrizen mit Koeffizienten aus ${\displaystyle K}$, deren Determinante 1 beträgt; diese werden auch unimodulare Matrizen genannt.^[1] Die Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation.

Die spezielle lineare Gruppe vom Grad ${\displaystyle n}$ über ${\displaystyle K}$ wird mit ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ bezeichnet. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch ${\displaystyle \operatorname {SL} (n)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}}$.

Eigenschaften

Die spezielle lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ ist ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$.

Die Faktorgruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)/\operatorname {SL} (n,K)}$ ist isomorph zu ${\displaystyle K^{*}}$, der Einheitengruppe von ${\displaystyle K}$ (für einen Körper ${\displaystyle K}$ ist ${\displaystyle K^{*}}$ gleich ${\displaystyle K\setminus \{0\}}$). Der Beweis erfolgt über den Homomorphiesatz mit der Determinante als Homomorphismus.

Wichtige Untergruppen der ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ sind für ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ die spezielle orthogonale Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ und für ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ die spezielle unitäre Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$.

Die spezielle lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ über dem Körper ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ ist eine Lie-Gruppe über ${\displaystyle K}$ der Dimension ${\displaystyle n^{2}-1}$.

Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.

Die spezielle lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen.

Siehe auch

• SL(2,R)
• Modulform

Einzelnachweise

1. ↑ Eric W. Weisstein: Determinant. In: MathWorld (englisch).