Sorgenfrey-Ebene

Die Sorgenfrey-Ebene ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Definition

Ist ${\displaystyle R}$ die Sorgenfrey-Gerade, so heißt das kartesische Produkt ${\displaystyle R^{2}=R\times R}$ mit der Produkttopologie die Sorgenfrey-Ebene. Dabei ist die Sorgenfrey-Gerade ${\displaystyle R}$ derjenige topologische Raum, der auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$ von allen halboffenen Intervallen ${\displaystyle [a,b)}$ als Basis erzeugt wird, das heißt die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle ${\displaystyle [a,b)}$ darstellbaren Mengen.

Die der Sorgenfrey-Ebene zugrundeliegende Menge ist also ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ und die Topologie der Sorgenfrey-Ebene wird demnach von der Menge aller halboffenen Rechtecke der Form ${\displaystyle [a,b)\times [c,d)}$ als Basis erzeugt.

Beispiele offener Mengen

Da die Mengen ${\displaystyle [a,b)}$ in der Sorgenfrey-Geraden offen und abgeschlossen sind, gilt das auch für ${\displaystyle [a,b)\times [c,d)\subset R^{2}}$. Die Sorgenfrey-Ebene besitzt daher eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Rechteck ${\displaystyle (a,b)\times (c,d)}$ ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Ebene, denn

${\displaystyle (a,b)\times (c,d)=\bigcup _{n=1}^{\infty }[a+{\frac {1}{n}},b)\times [c+{\frac {1}{n}},d)}$.

Die Topologie der Sorgenfrey-Ebene ist daher echt feiner als die euklidische Topologie.

Eigenschaften

Die Sorgenfrey-Ebene ${\displaystyle R^{2}}$ hat folgende Eigenschaften:

• ${\displaystyle R^{2}}$ ist als Produkt eines vollständig regulären Raumes vollständig regulär.
• ${\displaystyle R^{2}}$ ist total unzusammenhängend.
• ${\displaystyle R^{2}}$ hat die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension 0.
• ${\displaystyle R^{2}}$ ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Ebene ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
• ${\displaystyle R^{2}}$ ist separabel (${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ liegt dicht, denn jede Basismenge enthält einen Punkt mit rationalen Koordinaten), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen ${\displaystyle \textstyle [a,a+{\frac {1}{n}})\times [b,b+{\frac {1}{n}})}$ bilden eine Umgebungsbasis von ${\displaystyle (a,b)\in R^{2}}$), aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
• ${\displaystyle R^{2}}$ ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
• ${\displaystyle R^{2}}$ ist kein normaler Raum (siehe unten).

Gegenbeispiele

Der Unterraum ${\displaystyle D}$ trägt die diskrete Topologie.

Die Menge ${\displaystyle D:=\{(x,-x);x\in R\}\subset R^{2}}$ trägt als Teilraumtopologie die diskrete Topologie, denn für jeden Punkt ${\displaystyle (x,-x)\in D}$ gilt ${\displaystyle \{(x,-x)\}=D\cap [x,x+1)\times [-x,-x+1)}$, wie nebenstehende Zeichnung verdeutlicht.

Insbesondere ist ${\displaystyle D}$ mit der Teilraumtopologie nicht separabel. Die Sorgenfrey-Ebene ist daher ein Beispiel dafür, dass sich Separabilität im Allgemeinen nicht auf Teilräume vererbt. Ein weiteres Beispiel für diesen Sachverhalt ist der Niemytzki-Raum.

${\displaystyle D}$ als Teilmenge von ${\displaystyle R^{2}}$ ist abgeschlossen, da ${\displaystyle D}$ schon bezüglich der euklidischen Topologie abgeschlossen ist. Wegen der Diskretheit von ${\displaystyle D}$ ist dann jede Teilmenge von ${\displaystyle D}$ abgeschlossen in ${\displaystyle R^{2}}$. Setzt man ${\displaystyle E:=\{(x,-x);x\in \mathbb {Q} \}\subset R^{2}}$, so sind ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle D\setminus E}$ zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen, die sich nicht durch offene Mengen trennen lassen. ${\displaystyle R^{2}}$ ist daher nicht normal. Da die Sorgenfrey-Gerade normal ist, zeigt die Sorgenfrey-Ebene, dass ein Produkt normaler Räume im Allgemeinen nicht normal ist. Da die Sorgenfrey-Gerade sogar parakompakt ist, ist die Sorgenfrey-Ebene auch ein Beispiel dafür, dass Produkte parakompakter Räume im Allgemeinen nicht wieder parakompakt sind.

Literatur

• Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6. 
• Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1978, ISBN 0-387-90312-7.