Skalenhöhe

Die Skalenhöhe H ist eine Integrationskonstante einer exponentiellen Funktion. Bei ortsabhängigen Funktionen gibt sie an, bei welcher Höhe sich die Funktion um den Wert der eulerschen Zahl e verringert. Ebenso ist es die Höhe, der eine konstante Funktion entspräche, würde sie sich nicht exponentiell verringern, d. h. Wert des bestimmten Integrals über die Funktion:

${\displaystyle p(x)=p_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {x}{H}}}}$

und

${\displaystyle H=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{H}}}\,\mathrm {d} x}$

bzw.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }p(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }p_{0}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{H}}}\,\mathrm {d} x=p_{0}H}$

Bei Exponentialfunktionen, die andere Abhängigkeiten als die einer Höhe beschreiben, gelten folgende Bezeichnungen:

• Zerfallsgesetz: Kehrwert der Zerfallskonstanten, Zerfallszeit
• Absorption (Physik): Kehrwert des Absorptionskoeffizienten, Eindringtiefe

Skalenhöhe der Atmosphäre

Die Skalenhöhe in der barometrischen Höhenformel für den höhenabhängigen Druck beträgt im erdnahen Bereich:

${\displaystyle H={\frac {RT}{Mg}}={\frac {Nk_{\mathrm {B} }T}{mg}}=7{,}8\,\mathrm {km} }$

mit R: universelle Gaskonstante, T: Temperatur, M: molare Masse, g: Erdbeschleunigung, k_B: Boltzmann-Konstante, N: Teilchenzahl, m: Masse.

Bei einer Höhe größer als 100 km nimmt die Temperatur auf 1500 K zu, die Molmasse auf 16 g/mol ab. Eine gute Näherung für den höhenabhängigen Druck ist eine angepasste Skalenhöhe von H = 26 km.

In der Marsatmosphäre liegt die Skalenhöhe hingegen bei 11 km.

In der Astronomie spricht man von einer Luftmasse mit der Dicke einer Skalenhöhe, die, bei konstantem Bodendruck, die gleiche Lichtschwächung besitzt, wie die gesamte Atmosphäre mit exponentiell fallender Dichte und Druck.