Skalarfeld

Ein Skalarfeld, bei dem die Intensität durch verschiedene Farben repräsentiert wird (s. Legende).

In der mehrdimensionalen Analysis, der Vektorrechnung und der Differentialgeometrie ist ein skalares Feld (kurz Skalarfeld) eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes eine reelle Zahl (Skalar) zuordnet, z. B. eine Temperatur.^[1]

Skalarfelder sind von großer Bedeutung in der Feldbeschreibung der Physik^[2] und in der mehrdimensionalen Vektoranalysis.^[3]

Definition

Ein Skalarfeld ${\displaystyle \varphi }$ bildet jeden Punkt ${\displaystyle p}$ einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ auf einen Skalar ${\displaystyle \varphi (p)}$ ab.

Man unterscheidet dabei zwischen reellwertigen Skalarfeldern

${\displaystyle \varphi \colon M\to \mathbb {R} }$

und komplexwertigen Skalarfeldern

${\displaystyle \varphi \colon M\to \mathbb {C} }$.

Man spricht von einem stationären Skalarfeld, wenn die Funktionswerte nur vom Ort abhängen. Hängen sie auch von der Zeit ab, handelt es sich um ein instationäres Skalarfeld.^[4]

Beispiele

Beispiele für Skalarfelder in der Physik sind der Luftdruck, die Temperatur, Dichte oder allgemein Potentiale (auch als Skalarpotentiale bezeichnet).^[2][5]

Operationen

Wichtige Operationen im Zusammenhang mit Skalarfeldern sind:^[4]

• Gradient eines Skalarfeldes, der ein Vektorfeld ist.
• Richtungsableitung eines Skalarfeldes.

Einordnung

Im Gegensatz zum Skalarfeld ordnet ein Vektorfeld jedem Punkt einen Vektor zu. Ein Skalarfeld ist das einfachste Tensorfeld.^[4]

Einzelnachweise

1. ↑ Ziya Şanal: Mathematik für Ingenieure: Grundlagen – Anwendungen in Maple. Springer, 2015, ISBN 978-3-658-10642-3, S. 550. 
2. ↑ ^{a b} Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf: Theoretische Physik. Springer, 2014, ISBN 978-3-642-54618-1, S. 31, 35, 274. 
3. ↑ Paul C. Matthews: Vector Calculus (= Springer Undergraduate Mathematics Series). Springer, 2000, ISBN 978-3-540-76180-8, 1.6 Scalar fields and vector fields. 
4. ↑ ^{a b c} Hans Karl Iben: Tensorrechnung – Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-84792-8, 4.2 Gradient, Divergenz und Rotation von Tensorfeldern. 
5. ↑ Josef Betten: Elementare Tensorrechnung für Ingenieure: Mit zahlreichen Übungsaufgaben und vollständig ausgearbeiteten Lösungen. Springer, 2013, ISBN 978-3-663-14139-6, S. 112.