Sinus- und Kosinus-Transformation

Die Sinus- und Kosinus-Transformation sind zwei Varianten der kontinuierlichen Fourier-Transformation, die ausschließlich für reelle Zahlen definiert sind, im Gegensatz zur Fourier-Transformation, welche für komplexe Zahlen definiert ist. Sie sind Integraltransformationen mit Anwendungen im Bereich der Signalverarbeitung. Davon abgeleitet sind für zeitdiskrete Signalfolgen die Diskrete Kosinustransformation (DCT) und die Diskrete Sinustransformation (DST).

Allgemeines

Der Kern der Fourier-Transformation lässt sich mittels der Eulerschen Identität in einen Real- und Imaginärteil aufspalten:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \,x}=\cos \left(x\right)+\mathrm {j} \cdot \sin \left(x\right)}$

mit ${\displaystyle \mathrm {j} }$ als die imaginäre Einheit. Der Realteil wird als Kern der Kosinus-Transformation und der Imaginärteil als Kern der Sinus-Transformation verwendet. Die Kosinus-Funktion ist eine gerade Funktion, die Kosinus-Transformation bildet den geraden Signalanteil der Fourier-Transformierte eines reellen Signals ab. Analog dazu bildet die ungerade Sinus-Funktion den ungeraden Signalanteil der Fourier-Transformierte eines reellen Signals ab.

Sinus-Transformation

Die Sinus-Transformation ist für reelle Signale ${\displaystyle y(t)}$ definiert durch:

${\displaystyle \mathrm {Y_{s}} (f)={\mathcal {SIN}}\{y(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }y(t)\sin(2\pi ft)\,\mathrm {d} t.}$

Kosinus-Transformation

Die Kosinus-Transformation ist für reelle Signale ${\displaystyle y(t)}$ definiert durch:

${\displaystyle \mathrm {Y_{c}} (f)={\mathcal {COS}}\{y(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cos(2\pi ft)\,\mathrm {d} t.}$

Zusammenhang

Die Fourier-Transformation

${\displaystyle \mathrm {Y} (f)={\mathcal {F}}\{y(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }y(t)\,e^{-2\pi \mathrm {j} f\cdot t}\,\mathrm {d} t}$

lässt sich für reelle Signale ${\displaystyle y(t)}$ aus der Sinus- und Kosinus-Transformation bilden:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{y(t)\}={\mathcal {COS}}\{y(t)\}-\mathrm {j} \cdot {\mathcal {SIN}}\{y(t)\}.}$

Für die speziellen Fälle von reellen und geraden Signalen geht die Fourier-Transformation in die Kosinus-Transformation über, für reelle und ungerade Signale geht sie, bis auf einen konstanten Vorfaktor, in die Sinus-Transformation über.

Literatur

• Fernando Puente León, Uwe Kiencke, Holger Jäkel: Signale und Systeme. 5. Auflage. Oldenbourg, 2011, ISBN 978-3-486-59748-6.