Sierpinski-Kurve

Sierpiński-Kurve 1. Ordnung

Sierpiński-Kurven
1. und 2. Ordnung

Sierpiński-Kurven
1. bis 3. Ordnung

Die Sierpiński-Kurven sind eine rekursiv definierte Folge von stetigen geschlossenen fraktalen Kurven. Die Sierpiński-Kurve ist ein Beispiel für eine raumfüllende Kurve, die im Übergang ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ das Einheitsquadrat vollständig ausfüllt. Sie wurden 1912 vom polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński definiert.

Eigenschaften

• Der Grenzwert der von der Sierpiński-Kurve umschlossenen Fläche ist ${\displaystyle 5 \over 12}$ (in euklidischer Metrik).
• Die euklidische Länge der Kurve ${\displaystyle S_{n}}$ wächst exponentiell mit ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle l_{n}={\frac {2}{3}}(1+{\sqrt {2}})2^{n}-{\frac {1}{3}}(2-{\sqrt {2}}){\frac {1}{2^{n}}}}$.
• Da die Kurve raumfüllend ist, hat sie im Grenzwert die Hausdorff-Dimension ${\displaystyle 2}$.

Weblinks

Commons: Sierpinski-Kurve – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Sierpinski-Kurve. In: MathWorld (englisch).
• Interaktive Demonstration der Sierpinski-Kurve.