Separabler Abschluss

Separabler Abschluss ist ein Begriff aus der Algebra.

Definition

Ist ${\displaystyle L/K}$ eine separable algebraische Körpererweiterung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• Jedes nicht-konstante separable Polynom in ${\displaystyle L[X]}$ zerfällt vollständig in Linearfaktoren.
• Ist ${\displaystyle C}$ ein algebraischer Abschluss von ${\displaystyle K}$ und ist ${\displaystyle L}$ eingebettet in ${\displaystyle C}$, dann ist die Erweiterung ${\displaystyle C/L}$ rein inseparabel.

Zu jedem Körper ${\displaystyle K}$ gibt es einen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Körper ${\displaystyle L}$ mit den obigen Eigenschaften. Er wird auch mit ${\displaystyle K_{\rm {sep}}}$ bezeichnet und heißt separabler algebraischer Abschluss von ${\displaystyle K}$.