Separabilitätssatz von Marczewski

Der Separabilitätssatz von Marczewski (englisch Marczewski’s separability theorem^[1]) – auch als Satz von Marczewski^[2] bezeichnet – ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Allgemeinen Topologie. Er geht auf eine Arbeit des polnischen Mathematikers Edward Marczewski aus den Jahren 1947 zurück und behandelt das Problem der Separabilität des Produkts gewisser topologischer Räume.^[2]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:^[2][3]

Gegeben sei eine nichtleere Familie ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}\;(I\neq \emptyset )}$ von Hausdorffräumen, welche allesamt aus zwei oder mehr Elementen bestehen sollen, und es sei

${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$

deren topologisches Produkt.

Dann gilt:

Der Produktraum ${\displaystyle X}$ ist separabel genau dann, wenn jeder der Räume ${\displaystyle X_{i}}$ separabel ist und wenn darüber hinaus die Indexmenge ${\displaystyle I}$ höchstens die Mächtigkeit des Kontinuums hat.

Verwandter Satz

Ein dem Separabilitätssatz von Marczewski eng verwandter Satz ist der folgende, der von manchen Autoren Satz von Hewitt–Marczewski–Pondiczery (englisch Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem) genannt wird: ^[4]

Ist ${\displaystyle \tau }$ eine unendliche Kardinalzahl und ist ${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$ das Produkt von ${\displaystyle |I|\leq 2^{\tau }}$ topologischen Räumen ${\displaystyle X_{i}}$ und enthalten diese Räume allesamt dichte Teilmengen, deren Mächtigkeit höchstens ${\displaystyle \tau }$ ist, so umfasst der Produktraum ${\displaystyle X}$ seinerseits eine dichte Teilmenge, deren Mächtigkeit höchstens ${\displaystyle \tau }$ ist.

Anmerkung zur Namensgebung

Kenneth Allen Ross und Arthur Harold Stone rechnen den Separabilitätssatz dem US-amerikanischen Mathematiker Ralph Boas zu, in dessen Arbeit aus dem Jahre 1944 – die Boas unter dem Pseudonym E. S. Pondiczery veröffentlichte – dieses Resultat auch enthalten ist.^[5]

Literatur

• W. W. Comfort: A short proof of Marczewski's separability theorem. In: American Mathematical Monthly. Band 76, 1969, S. 1041–1042, doi:10.2307/2317135 (MR0248742). 
• A. A. Gryzlov: On dense subsets of Tychonoff products. In: Topology and its Applications. Band 170, 2014, S. 86–95 (MR3200391). 
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0. 
• Edwin Hewitt: A remark on density characters. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 52, 1946, S. 641–643 (MR0017329). 
• E. Marczewski: Séparabilité et multiplication cartésienne des espaces topologiques. In: Fundamenta Mathematicae. Band 34, 1947, S. 127–143 (MR0021680). 
• E. S. Pondiczery: Power problems in abstract spaces. In: Duke Mathematical Journal. Band 11, 1944, S. 835–837, doi:10.1215/S0012-7094-44-01171-3 (MR0011104). 
• K. A. Ross, A. H. Stone: Products of separable spaces. In: American Mathematical Monthly. Band 71, 1964, S. 398–403, doi:10.2307/2313241 (MR0164314). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970, S. 224 ff. (MR0264581). 

Siehe auch

• Artikel "Separable space" in der englischsprachigen Wikipedia
• Link zu Hewitt-Marczewski-Pondiczery theorem (planetmath.org)

Einzelnachweise

1. ↑ W. W. Comfort: A short proof of Marczewski's separability theorem. Amer. Math. Monthly 76, S. 1041 ff
2. ↑ ^{a b c} J. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 157
3. ↑ Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 109
4. ↑ A. A. Gryzlov: On dense subsets of Tychonoff products., Topology Appl. 170, S. 86 ff
5. ↑ K. A. Ross, A. H. Stone: Products of separable spaces., Amer. Math. Monthly 71, S. 399