Semialgebraische Menge

Eine semialgebraische Menge ist in der Mathematik eine durch eine endliche Menge polynomieller Gleichungen und Ungleichungen gegebene Teilmenge eines ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Eine semialgebraische Menge ist also von der Form

${\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{p}\bigcap _{j=1}^{q}X_{ij}}$,

wobei jedes ${\displaystyle X_{ij}}$ entweder von der Form ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon f_{ij}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\right\}}$ oder von der Form ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon f_{ij}(x_{1},\ldots ,x_{n})>0\right\}}$ für ein Polynom ${\displaystyle f_{ij}\in \mathbb {R} \left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$ ist. Falls nur Gleichungen und keine Ungleichungen vorkommen, handelt es sich um eine algebraische Menge.

Allgemeiner können semialgebraische Mengen über beliebigen reell-abgeschlossenen Körpern definiert werden.

Ebenso wie im Fall algebraischer Mengen sind endliche Vereinigungen und Durchschnitte semialgebraischer Mengen wieder semialgebraisch. Anders als bei algebraischen Mengen sind Komplemente semialgebraischer Mengen ebenfalls semialgebraisch. Eine wichtige Eigenschaft semialgebraischer Mengen beschreibt der Satz von Tarski-Seidenberg: Wenn ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ eine semialgebraische Menge und ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n}}$ die Projektion auf die ersten ${\displaystyle n}$ Koordinaten ist, dann ist ${\displaystyle \pi (A)\subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine semialgebraische Menge.

Anders als subanalytische Mengen bilden semialgebraische Mengen eine o-minimale Struktur.

Literatur

• J. Bochnak, M. Coste, M.-F. Roy: Real algebraic geometry. Transl. from the French. Rev. and updated ed. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 36. Berlin: Springer, 1998.
• E. Bierstone, P. Milman: Semianalytic and subanalytic sets. Publ. Math. IHES 67, 5–42, 1988.
• H. Brakhage: Topologische Eigenschaften algebraischer Gebilde über einem beliebigen reell-abgeschlossenen Grundkörper. Dissertation Universität Heidelberg, 1954.

Weblinks

• semialgebraic set (nLab)
• semialgebraische Menge (Spektrum Lexikon der Mathematik)