Seiberg-Witten-Gleichung

Die Seiberg-Witten-Gleichungen stammen aus der Seiberg-Witten-Theorie in der theoretischen Physik. Ihre Lösungen heißen Monopole. In der Mathematik wird der Modulraum ihrer Lösungen zur Konstruktion der Seiberg-Witten-Invarianten verwendet.

Sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik und einer Spin^c-Struktur mit assoziierten Spinorbündeln ${\displaystyle W^{\pm }}$.

Die Seiberg-Witten-Gleichungen sind Gleichungen für ein „selbstduales Spinorfeld“ ${\displaystyle \phi }$ (d. h. einen Schnitt von ${\displaystyle W^{+}}$) und einen ${\displaystyle U(1)}$-Zusammenhang ${\displaystyle A}$ auf dem Determinantenbündel ${\displaystyle L}$. Sie lauten:

${\displaystyle D^{A}\phi =0,}$

${\displaystyle F_{A}^{+}+\tau (\phi )=0.}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle D^{A}}$ den Dirac-Operator des Zusammenhangs, ${\displaystyle F_{A}}$ die Krümmungsform des Zusammenhangs, ${\displaystyle F_{A}^{+}:={\frac {1}{2}}(F_{A}+F_{A}^{*})}$ ihren selbstdualen Anteil, und ${\displaystyle \tau (\phi )}$ den spurfreien Anteil des Endomorphismus ${\displaystyle \theta \to \langle \theta ,\phi \rangle \phi }$ von ${\displaystyle W^{+}}$.

Für eine bzgl. der Riemannschen Metrik selbst-duale 2-Form ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{2,+}(M,i\mathbb {R} )}$ betrachtet man die gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen

${\displaystyle D^{A}\phi =0,}$

${\displaystyle F_{A}^{+}+\tau (\phi )+\eta =0.}$

• N. Seiberg, E. Witten: Electric-Magnetic Duality, Monopole Condensation, and Confinement in N = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory. In: Nuclear Physics B. Volume 426, Nr. 1, 5. September 1994, S. 19–52 (englisch).