Sehnenviereck

Ein Sehnenviereck ABCD mit Umkreis k

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen, dem Umkreis des Vierecks. Folglich sind alle Seiten des Sehnenvierecks Sehnen des Umkreises. Üblicherweise meint man mit Sehnenviereck ein nicht-überschlagenes Sehnenviereck; es ist notwendigerweise konvex.

Das gleichschenklige Trapez, das Rechteck und das Quadrat sind besondere Sehnenvierecke.

Sätze

Für jedes Sehnenviereck gilt der Sehnensatz:

• Die Produkte je zweier gegenüberliegender Diagonalenabschnitte sind gleich groß. Das heißt, wenn ${\displaystyle P}$ der Schnittpunkt der beiden Diagonalen ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ und ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ist, so gilt ${\displaystyle {\overline {AP}}\cdot {\overline {CP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {DP}}}$.

Die folgenden Sätze gelten nur für nicht-überschlagene Sehnenvierecke ABCD:

• Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°, also ${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =180^{\circ }}$.
• Satz von Ptolemäus: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenvierecks ist gleich dem Produkt der Diagonalen: ${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$.

Eigenschaften

Abb. 1: Winkelsumme gegenüberliegender Winkel

Abb. 2: Zusatzeigenschaft im Sehnenviereck

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel 180° (Abbildung 1).

${\displaystyle \alpha +\gamma =180^{\circ }}$

${\displaystyle \beta +\delta =180^{\circ }}$

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über zwei komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu 360° ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu 360°/2 = 180° ergänzen.

Ein anderer Beweis findet sich im Beweisarchiv.

Die Umkehrung dieser Aussage stimmt auch, d. h. ist in einem Viereck die Summe gegenüberliegender Winkel 180°, dann ist es ein Sehnenviereck.

Eine weitere Eigenschaft im Sehnenviereck beschreibt der nachfolgende Satz (Abbildung 2).

Ist ${\displaystyle ABCD}$ ein Sehnenviereck und sind ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ die Mittelpunkte der Kreisbögen über den Seiten des Sehnenvierecks, so sind die Verbindungslinien ${\displaystyle EG}$ und ${\displaystyle FH}$ orthogonal zueinander.

Der Beweis verwendet ebenfalls den Kreiswinkelsatz. Die Umkreisbögen ${\displaystyle b_{1}}$ zwischen ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle E}$ sowie ${\displaystyle b_{2}}$ zwischen ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ umfassen zusammen einen Winkel von 180°, weil sie jeweils die Hälfte der Bögen über den Vierecksseiten ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CD}$ und ${\displaystyle CA}$ enthalten.

Nach dem Kreiswinkelsatz sind die Umfangswinkel ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ jeweils halb so groß wie die zugehörigen Mittelpunktswinkel der Kreisbögen ${\displaystyle b_{1}}$ und ${\displaystyle b_{2}}$.

Folglich gilt ${\displaystyle \alpha +\beta =90^{\circ }}$, also sind wegen der Innenwinkelsumme 180° im Dreieck ${\displaystyle GHK}$ auch die Strecken ${\displaystyle EG}$ und ${\displaystyle FH}$ orthogonal zueinander.^[1]

Formeln

Mathematische Formeln zum Sehnenviereck
Flächeninhalt	${\displaystyle F={\sqrt {(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)}}}$ mit ${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}$
	${\displaystyle F={\frac {e\cdot (a\cdot b+c\cdot d)}{4\cdot R}}={\frac {f\cdot (a\cdot d+b\cdot c)}{4\cdot R}}}$
Länge der Diagonalen	${\displaystyle f=|AC|={\sqrt {\frac {(a\cdot c+b\cdot d)\cdot (a\cdot d+b\cdot c)}{a\cdot b+c\cdot d}}}}$
	${\displaystyle e=|BD|={\sqrt {\frac {(a\cdot b+c\cdot d)\cdot (a\cdot c+b\cdot d)}{a\cdot d+b\cdot c}}}}$
Umkreisradius	${\displaystyle R={\frac {1}{4\cdot F}}\cdot {\sqrt {(a\cdot b+c\cdot d)\cdot (a\cdot c+b\cdot d)\cdot (a\cdot d+b\cdot c)}}}$
Innenwinkel	${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =180^{\circ }}$

Die zuerst genannte Formel für den Flächeninhalt ist eine Verallgemeinerung des Satz des Heron für Dreiecke und wird auch als Satz von Brahmagupta oder Formel von Brahmagupta bezeichnet. Hierbei fasst man ein Dreieck als ein ausgeartetes Sehnenviereck auf, dessen vierte Seite die Länge 0 besitzt, d. h. zwei seiner Eckpunkte liegen aufeinander. Die Formel von Brahmagupta kann zur Formel von Bretschneider verallgemeinert werden, diese fügt Brahmaguptas Formel einen Korrekturterm, der im Falle eines Sehnenvierecks 0 ist, hinzu und gilt dann für beliebige Vierecke.

Ein Viereck mit festen, geordneten Seitenlängen hat genau dann den größtmöglichen Flächeninhalt, wenn es ein Sehnenviereck ist. Ebenso hat ein Vieleck genau dann den größten Flächeninhalt, wenn es ein Sehnenvieleck ist.^[2]

Weitere Formeln

Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die Flächeninhalte der Dreiecke ABM, BCM, CDM und DAM

${\displaystyle F(ABM)={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot {\sqrt {R^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}={\frac {a}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}}$ und entsprechend

${\displaystyle F(BCM)={\frac {b}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-b^{2}}}}$

${\displaystyle F(CDM)={\frac {c}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-c^{2}}}}$

${\displaystyle F(CDM)={\frac {d}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-d^{2}}}}$

Der Flächeninhalt des Sehnenvierecks ABCD ist die Summe dieser 4 Flächeninhalte, also gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=F(ABM)+F(BCM)+F(CDM)+F(CDM)\\&={\frac {a}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}+{\frac {b}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-b^{2}}}+{\frac {c}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-c^{2}}}+{\frac {d}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-d^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}\cdot \left(a\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}+b\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-b^{2}}}+c\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-c^{2}}}+d\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-d^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Bezeichnet man die Mittelpunktswinkel, die den Seiten ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ gegenüber liegen, mit ${\displaystyle \alpha _{m}}$, ${\displaystyle \beta _{m}}$, ${\displaystyle \gamma _{m}}$, ${\displaystyle \delta _{m}}$, dann gilt nach der Definition von Sinus und Kosinus

${\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)={\frac {a}{2\cdot R}}}$ und ${\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)={\frac {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}{2\cdot R}}}$, also ${\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)={\frac {a}{2\cdot R}}\cdot {\frac {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}{2\cdot R}}={\frac {a\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}}{4\cdot R^{2}}}}$. Aus der Formel für die Doppelwinkelfunktionen folgt

${\displaystyle a\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}=4\cdot R^{2}\cdot \sin \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)=2\cdot R^{2}\cdot \sin(\alpha _{m})}$ und entsprechend

${\displaystyle b\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-b^{2}}}=2\cdot R^{2}\cdot \sin(\beta _{m})}$

${\displaystyle c\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-c^{2}}}=2\cdot R^{2}\cdot \sin(\gamma _{m})}$

${\displaystyle d\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-d^{2}}}=2\cdot R^{2}\cdot \sin(\delta _{m})}$

Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt ergibt^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}F&={\frac {1}{4}}\cdot \left(2\cdot R^{2}\cdot \sin(\alpha _{m})+2\cdot R^{2}\cdot \sin(\beta _{m})+2\cdot R^{2}\cdot \sin(\gamma _{m})+2\cdot R^{2}\cdot \sin(\delta _{m})\right)\\&={\frac {r^{2}}{2}}\cdot \left(\sin(\alpha _{m})+\sin(\beta _{m})+\sin(\gamma _{m})+\sin(\delta _{m})\right)\end{aligned}}}$

Gleichungen

Für die Innenwinkel eines Sehnenvierecks gelten folgende Gleichungen:^[4]

${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {2\cdot {\sqrt {(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)}}}{a\cdot d+b\cdot c}}}$

${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2\cdot (a\cdot d+b\cdot c)}}}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {(s-a)\cdot (s-d)}{(s-b)\cdot (s-c)}}}}$

Für den Schnittwinkel der Diagonalen gilt:

${\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\sqrt {\frac {(s-b)\cdot (s-d)}{(s-a)\cdot (s-c)}}}}$

Für den Schnittwinkel der Seiten a und c gilt:

${\displaystyle \cos \left({\frac {\varphi }{2}}\right)={\sqrt {\frac {(s-b)\cdot (s-d)\cdot (b+d)^{2}}{(a\cdot b+c\cdot d)\cdot (a\cdot d+b\cdot c)}}}}$

Siehe auch

• Japanischer Satz für Sehnenvierecke
• Tangentenviereck
• Sehnenvieleck

Literatur

• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev, G. Musiol, H. Mühlig (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 7., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9. 
• H. Fenkner, K. Holzmüller: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Dr. Karl Holzmüller. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. 12. Auflage. I. Teil. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926. 
• Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 1. 15. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. 
• Harald Scheid (Hrsg.): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2. 
• Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. 5. Band: Sed bis Zyl. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002, ISBN 3-8274-0437-1. 

Weblinks

Wiktionary: Sehnenviereck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Beweis des Satzes des Ptolemäus – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Beweis zur Größe des gegenüberliegenden Winkels im Sehnenviereck – Lern- und Lehrmaterialien

• Beweis des Satzes von Ptolemäus (mit Umkehrung) mit geometrischen Mitteln der gymnasialen Mittelstufe, Landesbildungsserver Baden-Württemberg

Einzelnachweise

1. ↑ Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, Seiten 120 und 121.
2. ↑ Titu Andreescu, Oleg Mushkarov, Luchezar N. Stoyanov: Geometric Problems on Maxima and Minima. Birkhäuser, Boston u. a. 2006, ISBN 0-8176-3517-3, S. 69 (Auszug (Google)).
3. ↑ Harald Schröer, Universitätsbibliothek Heidelberg: Die 4. Seite und der Flächeninhalt des Sehnenvierecks
4. ↑ C. V. Durell, A. Robson: Advanced Trigonometry