Segre-Einbettung

Die Segre-Einbettung ist eine Abbildung, die in der algebraischen Geometrie verwendet werden kann, um dem kartesischen Produkt zweier projektiver Varietäten die Struktur einer projektiven Varietät zu geben. Die Segre-Einbettung ist nach Corrado Segre benannt.

Definition

Definition in homogenen Koordinaten

Sei ${\displaystyle K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ der ${\displaystyle n}$- und ${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$ der ${\displaystyle m}$-dimensionale projektive Raum über ${\displaystyle K}$ mit homogenen Koordinaten ${\displaystyle X_{0},\dotsc ,X_{n}}$ und ${\displaystyle Y_{0},\dotsc ,Y_{m}}$.

Die Segre-Einbettung ${\displaystyle \sigma _{n,m}}$ von ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ und ${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$ ist definiert als

${\displaystyle \sigma _{n,m}\colon \mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1},([X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}],[Y_{0}:Y_{1}:\cdots :Y_{m}])\mapsto [X_{0}Y_{0}:X_{0}Y_{1}:\cdots :X_{i}Y_{j}:\cdots :X_{n}Y_{m}]}$,

wobei die ${\displaystyle X_{i}Y_{j}}$ nach der lexikographischen Ordnung angeordnet sind.

Das Bild ${\displaystyle \Sigma _{m,n}:=\sigma _{n,m}(\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n})}$ wird als Segre-Varietät bezeichnet.^[1]

Koordinatenfreie Definition

Es ist auch möglich, die Segre-Einbettung koordinatenfrei zu definieren. Für endlichdimensionale ${\displaystyle K}$-Vektorräume ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ und die zugehörigen projektiven Räume ${\displaystyle \mathbb {P} (W)}$ und ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ definiert man die Segre-Einbettung ${\displaystyle \sigma _{V,W}}$ mit Hilfe des Tensorprodukts ${\displaystyle \otimes }$ als^[2]

${\displaystyle \sigma _{V,W}\colon \mathbb {P} (V)\times \mathbb {P} (W)\to \mathbb {P} (V\otimes W),([v],[w])\mapsto [v\otimes w]}$.

Eigenschaften

Die Segre-Einbettung ${\displaystyle \sigma _{n,m}}$ ist eine wohldefinierte injektive Abbildung, deren Bild ${\displaystyle \Sigma _{n,m}\subseteq \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}}$ eine abgeschlossene, irreduzible Teilmenge ist.

Somit ist die Segre-Varietät ${\displaystyle \Sigma _{n,m}}$ tatsächlich eine projektive Varietät. Das dazugehörige homogene Ideal ${\displaystyle \mathbb {I} (\Sigma _{n,m})}$ lässt sich explizit angeben. Bezeichnen wir die homogenen Koordinaten auf ${\displaystyle \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}}$ mit ${\displaystyle Z_{0,0},\dotsc ,Z_{n,m}}$, so erhalten wir

${\displaystyle \mathbb {I} (\Sigma _{n,m})=\langle Z_{a,b}Z_{c,d}-Z_{a,d}Z_{c,b}\mid 0\leq a,c\leq n,0\leq b,d\leq m\rangle }$.

Die Segre-Varietät kann also auch als Nullstellenmenge der ${\displaystyle 2\times 2}$ Minoren der Matrix ${\displaystyle (Z_{ij})_{ij}}$ aufgefasst werden und ist damit eine spezielle Determinantenvarietät.

Produkte in der Kategorie der (quasi-)projektiven Varietäten

Sind ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$, ${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {P} ^{m}}$ (lokal-)abgeschlossene Teilmengen, so ist auch ${\displaystyle \sigma _{n,m}(X\times Y)\subseteq \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}}$ (lokal-)abgeschlossen.

Da ${\displaystyle \sigma _{n,m}\colon X\times Y\to \sigma _{n,m}(X\times Y)}$ bijektiv ist, kann damit auf ${\displaystyle X\times Y}$ die Struktur einer (quasi-)projektiven Varietät definiert werden, indem man die Struktur mit Hilfe der Bijektion ${\displaystyle \sigma _{n,m}}$ überträgt.

Die dadurch definierte (quasi-)projektive Varietät ${\displaystyle X\times Y}$ ist ein Produkt im Sinne der Kategorientheorie.^[3][4]

Hat man alternativ dazu die Produkte auf einem anderen Weg definiert, so kann man zeigen, dass die Segre-Einbettung eine abgeschlossene Einbettung ist, was sie im obigen Weg per Definition ist.^[5]

Beispiele

Quadrik

Im einfachsten Fall erhalten wir für ${\displaystyle n=m=1}$ eine Einbettung des Produktes der projektiven Geraden nach ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$. Die Segre-Varietät ${\displaystyle \Sigma _{1,1}}$ ist dann eine Quadrik. Bezeichnet man die homogenen Koordinaten ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ mit ${\displaystyle Z_{0},\dotsc ,Z_{3}}$, so erhält man die Quadrik als Nullstellenmenge der Determinante

${\displaystyle \det \left({\begin{matrix}Z_{0}&Z_{1}\\Z_{2}&Z_{3}\end{matrix}}\right)=Z_{0}Z_{3}-Z_{1}Z_{2}.}$^[6]

Einzelnachweise

1. ↑ Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.11.
2. ↑ Fiesler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, S. 49.
3. ↑ Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.21.
4. ↑ Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, Exercise 3.16.
5. ↑ Fiesler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, Aufgabe 4.7.
6. ↑ Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.11.

Literatur

• Karl-Heinz Fiesler, Ludger Kaup: Algebraische Geometrie. Heldermann Verlag, Lemgo 2005, ISBN 3-88538-113-3.
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer, New York 1977, ISBN 978-1-4419-2807-8, Exercises 2.10., 3.16.
• Joe Harris: Algebraic Geometry. A First Course. Springer, New Your 1992, ISBN 3-540-97716-3.