Sedenion

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Die Sedenionen (Symbol ) sind 16-dimensionale hyperkomplexe Zahlen. Sie entstehen durch die Anwendung des Verdopplungsverfahrens aus den Oktonionen.

Die Multiplikation der Sedenionen ist weder kommutativ noch alternativ (und damit auch nicht assoziativ). Sie ist nur noch potenz-assoziativ und flexibel. Weiterhin erfüllen die Sedenionen die Jordan-Identität und bilden daher eine nichtkommutative Jordan-Algebra. Sedenionen besitzen Nullteiler.

Jedes Sedenion ist eine reelle Linearkombination der Einheiten , wobei ist:

Multiplikation

Eine mögliche Multiplikationstafel der Einheiten ist:

1e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11e12e13e14e15
11e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11e12e13e14e15
e1e1−1e3−e2e5−e4−e7e6e9−e8−e11e10−e13e12e15−e14
e2e2−e3−1e1e6e7−e4−e5e10e11−e8−e9−e14−e15e12e13
e3e3e2−e1−1e7−e6e5−e4e11−e10e9−e8−e15e14−e13e12
e4e4−e5−e6−e7−1e1e2e3e12e13e14e15−e8−e9−e10−e11
e5e5e4−e7e6−e1−1−e3e2e13−e12e15−e14e9−e8e11−e10
e6e6e7e4−e5−e2e3−1−e1e14−e15−e12e13e10−e11−e8e9
e7e7−e6e5e4−e3−e2e1−1e15e14−e13−e12e11e10−e9−e8
e8e8−e9−e10−e11−e12−e13−e14−e15−1e1e2e3e4e5e6e7
e9e9e8−e11e10−e13e12e15−e14−e1−1−e3e2−e5e4e7−e6
e10e10e11e8−e9−e14−e15e12e13−e2e3−1−e1−e6−e7e4e5
e11e11−e10e9e8−e15e14−e13e12−e3−e2e1−1−e7e6−e5e4
e12e12e13e14e15e8−e9−e10−e11−e4e5e6e7−1−e1−e2−e3
e13e13−e12e15−e14e9e8e11−e10−e5−e4e7−e6e1−1e3−e2
e14e14−e15−e12e13e10−e11e8e9−e6−e7−e4e5e2−e3−1e1
e15e15e14−e13−e12e11e10−e9e8−e7e6−e5−e4e3e2−e1−1

Dabei ist die linke Spalte als erster bzw. linker Faktor zu lesen, die obere Zeile als zweiter bzw. rechter Faktor:

,  aber 

Siehe auch Antikommutativität.

Es gilt

.

Nullteiler

Aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass die Sedenionen Nullteiler besitzen. Das bedeutet, es gibt Sedenionen, die selbst nicht null sind, aber bei der Multiplikation mit einem anderen von null verschiedenen Sedenion trotzdem null ergeben:

Der Raum der Nullteiler mit Norm 1 ist homöomorph zur kompakten Form der exzeptionellen Lie-Gruppe G2.[1]

Einzelnachweise

  1. R. Guillermo Moreno (1997): The zero divisors of the Cayley-Dickson algebras over the real numbers, arxiv:q-alg/9710013.