Schwarzsches Lemma

Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Amandus Schwarz) ist ein Satz der Funktionentheorie über holomorphe Selbstabbildungen der Einheitskreisscheibe, welche den Nullpunkt fest lassen.

Aussage

Es bezeichne ${\displaystyle \mathbb {D} :=\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,|z|<1\right\}}$ die offene Einheitskreisscheibe. Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ eine holomorphe Funktion mit ${\displaystyle f(0)=0}$. Dann gilt ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$ und ${\displaystyle |f'(0)|\leq 1}$. Falls in einem Punkt ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {D} ,z_{0}\neq 0,}$ zusätzlich die Gleichheit ${\displaystyle |f(z_{0})|=|z_{0}|}$ besteht oder ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ gilt, so ist ${\displaystyle f}$ eine Drehung, d. h. ${\displaystyle f(z)=e^{i\lambda }\cdot z}$ für ein geeignetes ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$.

Beweis

Sei ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ die Taylorentwicklung von ${\displaystyle f}$ um den Punkt ${\displaystyle z=0}$. Wegen ${\displaystyle f(0)=0}$ ist ${\displaystyle a_{0}=0}$, so dass die Funktion

${\displaystyle g(z):={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}},&{\text{falls }}z\not =0,\\f'(0),&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

auf ${\displaystyle \mathbb {D} }$ holomorph ist und die Taylorentwicklung ${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n-1}}$ um den Nullpunkt hat. Nach dem Maximumprinzip nimmt die Funktion ${\displaystyle |g|}$ auf dem Kreis ${\displaystyle K_{r}:=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq r\}}$, ${\displaystyle r\in (0,1)}$, ihr Maximum auf dem Rand ${\displaystyle \partial K_{r}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=r\}}$ an. Dort gilt aber:

${\displaystyle |g(z)|=\left|{\frac {f(z)}{z}}\right|={\frac {|f(z)|}{r}}\leq {\frac {1}{r}},}$

so dass |g(z)| auf ganz ${\displaystyle K_{r}}$ durch ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$ beschränkt ist. Da ${\displaystyle 0<r<1}$ beliebig ist, so folgt durch Grenzübergang ${\displaystyle r\to 1}$ schon ${\displaystyle |g(z)|\leq 1}$ und somit ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$. Weiterhin ist ${\displaystyle |f'(0)|=|g(0)|\leq 1}$.

Falls zusätzlich ein ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {D} }$ mit ${\displaystyle |f(z_{0})|=|z_{0}|}$ existiert oder ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ gilt, dann gibt es ein ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {D} }$ mit ${\displaystyle |g(z_{0})|=1}$. Mit dem Maximumprinzip folgt, dass ${\displaystyle g}$ konstant ist, also ${\displaystyle g(z)=c}$ für ein ${\displaystyle c}$ mit ${\displaystyle |c|=1}$. Es gilt also ${\displaystyle f(z)=c\cdot z}$.

Anwendungen

• Bestimmung der holomorphen Automorphismengruppe der Einheitskreisscheibe: ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {D} )=\left\{f(z)=e^{i\lambda }{\frac {z-z_{0}}{1-{\overline {z_{0}}}z}}\;,\;\lambda \in [0,2\pi ),\;z_{0}\in \mathbb {D} \right\}}$.

Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} }$ bestimmen und erhält ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {H} )\cong PSL(2,\mathbb {R} )}$.

• Das schwarzsche Lemma ist eines der Hilfsmittel, die beim modernen, mit Hilfe normaler Familien geführten Beweis des riemannschen Abbildungssatzes verwendet werden.
• Lemma von Schwarz-Pick: Für holomorphe Funktionen ${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ gilt ${\displaystyle {\frac {|f'(z)|}{1-|f(z)|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-|z|^{2}}}}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$.

Verschärfung

Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ mit ${\displaystyle f(0)=0}$ in der Potenzreihenentwicklung ${\displaystyle f(z)=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}z^{j}}$ die Bedingung ${\displaystyle |a_{1}|\leq 1}$ gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch ${\displaystyle |a_{2}|\leq 2}$ gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass ${\displaystyle |a_{j}|\leq j}$ für alle ${\displaystyle j\in \mathbb {N} \;}$. Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.

Literatur

• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg Verlag, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6