Schwach folgenkompakte Menge

Der Begriff der schwach folgenkompakten Menge und der schwach* folgenkompakten Menge ist ein Begriff aus der Topologie, einem Teilbereich der Mathematik. Er ist eine Verallgemeinerung der Folgenkompaktheit für Topologien, die gröber als die Normtopologie sind, die sogenannte schwache Topologie und die schwach-*-Topologie. Schwach folgenkompakte Mengen sind bei den Grundlagen der mathematischen Optimierung von Bedeutung, da eine gewisse Klasse von Funktionen auf schwach folgenkompakten Mengen ein Minimum annimmt und damit die Lösbarkeit von Optimierungsproblemen garantiert.

Definition

Gegeben sei ein normierter Raum ${\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )}$. Eine nichtleere Teilmenge ${\displaystyle M\subset X}$ heißt schwach folgenkompakt, wenn jede Folge in dieser Menge eine schwach konvergente Teilfolge besitzt, deren schwacher Grenzwert wieder zu ${\displaystyle M}$ gehört.

Ist ${\displaystyle X'}$ der Dualraum von ${\displaystyle X}$, so heißt eine Menge ${\displaystyle M'\subset X'}$ schwach* folgenkompakt, wenn jede Folge in dieser Menge eine schwach* konvergente Teilfolge besitzt, deren schwach* Grenzwert wieder zu ${\displaystyle M'}$ gehört.

Eigenschaften

• Ist der normierte Raum endlichdimensional, so ist die Menge ${\displaystyle M}$ genau dann schwach folgenkompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
• Nach dem Satz von Eberlein–Šmulian fallen für schwach abgeschlossene Mengen in Banachräumen schwache Folgenkompaktheit und schwache Kompaktheit zusammen.
• Ist ${\displaystyle X}$ separabel, dann ist jede abgeschlossene Kugel in ${\displaystyle X'}$ schwach* folgenkompakt.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein reflexiver Banachraum, so ist jede abgeschlossene Kugel schwach folgenkompakt.

Verwendung

Neben der Diskussion von schwachen Topologien tauchen schwach folgenkompakte Mengen auch in der Optimierung auf. Hier liefern sie Existenzaussagen für Extremalstellen. Schwach unterhalbstetige Funktionen nehmen nämlich auf einer schwach folgenkompakten Menge stets ein Minimum an.

Siehe auch

• Schwach relativ folgenkompakte Menge

Literatur

• Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5. 
• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.