Schottky-Gruppe

Fundamentalbereich einer von 3 loxodromischen Isometrien erzeugten Schottky-Gruppe

In der Mathematik sind Schottky-Gruppen gewisse Kleinsche Gruppen, die erstmals 1877 von Friedrich Schottky untersucht wurden.

Konstruktion

Klassische Schottky-Gruppen

Wir betrachten die Riemannsche Zahlenkugel ${\displaystyle P^{1}\mathbb {C} =\mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}}$ mit der Wirkung von ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ durch gebrochen-lineare Transformationen.

Man nehme ${\displaystyle 2k}$ paarweise disjunkte Kreisscheiben

${\displaystyle C_{-1},C_{1},\ldots ,C_{-k},C_{k}}$

in ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}}$. Für ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$ gibt es Abbildungen ${\displaystyle \theta _{i}\in SL(2,\mathbb {C} )}$, die jeweils das Innere von ${\displaystyle C_{-i}}$ bijektiv auf das Äußere von ${\displaystyle C_{i}}$ abbilden. Die von ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}}$ erzeugte Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset SL(2,\mathbb {C} )}$ ist eine (klassische) Schottky-Gruppe.

Allgemeine Schottky-Gruppen

Allgemeiner kann man ${\displaystyle 2k}$ disjunkte, von Jordan-Kurven berandete Gebiete betrachten. Falls es Abbildungen ${\displaystyle \theta _{i}\in SL(2,\mathbb {C} )}$ gibt, die jeweils das Innere von ${\displaystyle C_{-i}}$ bijektiv auf das Äußere von ${\displaystyle C_{i}}$ abbilden, dann wird die von den ${\displaystyle \theta _{i}}$ erzeugte Gruppe als Schottky-Gruppe bezeichnet. Im Rahmen dieser allgemeineren Definition werden die im vorherigen Abschnitt definierten Gruppen dann als klassische Schottky-Gruppen bezeichnet.

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass alle Schottky-Gruppen freie Gruppen und diskrete Untergruppen von ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ sind. Die erste Eigenschaft folgt aus dem Kombinationssatz von Klein und die zweite aus dem Poincaréschen Polyedersatz.

Jede nicht-elementare Kleinsche Gruppe hat zahlreiche Untergruppen, die Schottky-Gruppen sind.^[1] Der Grund dafür ist, dass hinreichend hohe Potenzen gegebener loxodromischer Isometrien disjunkte "isometric circles" haben und deshalb eine Schottky-Gruppe erzeugen.

Schottky-Gruppen im hyperbolischen Raum

Hyperbolische Henkelkörper

Die Riemannsche Zahlenkugel ist der Rand im Unendlichen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes ${\displaystyle H^{3}}$, die Kreise ${\displaystyle C_{i}}$ beranden jeweils Halbsphären ${\displaystyle S_{i}}$ und die ${\displaystyle \theta _{i}\in SL(2,\mathbb {C} )}$ entsprechen jeweils loxodromischen Isometrien, welche das Äußere von ${\displaystyle S_{-i}}$ bijektiv auf das Innere von ${\displaystyle S_{i}}$ abbilden. Der Quotientenraum ${\displaystyle \Gamma \backslash H^{3}}$ ist dann homöomorph zum Inneren eines Henkelkörpers.

Limesmenge und Diskontinuitätsbereich

Die Limesmenge ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )}$ einer Schottky-Gruppe ist eine Cantormenge. Das Komplement ${\displaystyle P^{1}\mathbb {C} \setminus \Lambda (\Gamma )}$ ist der Diskontinuitätsbereich ${\displaystyle \Omega (\Gamma )}$.

Der Quotient ${\displaystyle \Gamma \backslash \Omega (\Gamma )}$ ist eine Riemannsche Fläche. Die Vereinigung ${\displaystyle \Gamma \backslash (H^{3}\cup \Omega (\Gamma ))}$ ist ein Henkelkörper.

Charakterisierung von Schottky-Gruppen

Nach einem Satz von Maskit^[2] sind die folgenden Eigenschaften einer diskreten Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset SL(2,\mathbb {C} )}$ äquivalent:

• ${\displaystyle \Gamma }$ ist eine Schottky-Gruppe.
• ${\displaystyle \Gamma \backslash H^{3}}$ ist das Innere eines Henkelkörpers.
• ${\displaystyle \Gamma }$ ist eine freie Gruppe und alle ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ sind loxodromisch.

Für diskrete Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset SL(2,\mathbb {C} )}$, deren Elemente loxodromisch sind, hat Hou bewiesen, dass sie genau dann klassische Schottkygruppen sind, wenn die Hausdorffdimension ihrer Limesmenge kleiner als 1 ist.^[3]

Schottky-Uniformisierung

Eine Schottky-Uniformisierung einer Riemannschen Fläche ist gegeben durch eine Schottky-Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$, so dass ${\displaystyle \Gamma \backslash \Omega (\Gamma )}$ biholomorph zu der gegebenen Riemannschen Fläche ist. Nach einem Satz von Koebe besitzt jede Riemannsche Fläche eine Schottky-Uniformisierung.

Man kann zu einer Riemannschen Fläche sogar zu jeder Familie homologisch unabhängiger einfacher geschlossener Kurven ${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{s}}$ eine Schottky-Uniformisierung finden, so dass die gegebenen Kurven ${\displaystyle \gamma _{i}}$ jeweils eine Kreisscheibe im Henkelkörper ${\displaystyle \Gamma \backslash (H^{3}\cup \Omega (\Gamma ))}$ beranden.

Literatur

• David Mumford, Caroline Series, David Wright: Indra's pearls. The vision of Felix Klein. Cambridge University Press, New York, 2002. ISBN 0-521-35253-3.

Weblinks

Caroline Series: A crash course on Kleinian groups. Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste 37 (2005), no. 1–2, 1–38 (2006). (S. 16–17)

Einzelnachweise

1. ↑ Theorem 2.9 in: Matsuzaki-Taniguchi: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9
2. ↑ Theorem 4.23 in: Matsuzaki-Taniguchi, op.cit.
3. ↑ Yong Hou: The classification of Kleinian groups of Hausdorff dimensions at most one