Schnittpunkt

Ein Schnittpunkt ist in der Mathematik ein gemeinsamer Punkt von Kurven oder Flächen in der Ebene oder im Raum. Der allgemeine Sprachgebrauch versteht unter Schnittpunkt jenen zweier Geraden, was jedoch im mathematischen Kurvenbegriff enthalten ist. Im dreidimensionalen Raum kann eine Kurve mit einer Fläche einen Schnittpunkt bilden. Im einfachsten Fall schneidet eine Gerade eine Ebene. Außerdem können sich im dreidimensionalen Raum drei Flächen in einem Punkt schneiden. Dafür ist der einfachste Fall der Schnittpunkt dreier Ebenen.

Schnittpunkte von Geraden, Ebenen oder Hyperebenen können mithilfe von linearen Gleichungssystemen bestimmt werden.

Im Allgemeinen führt die Bestimmung von Schnittpunkten auf nichtlineare Gleichungen, die man in der Praxis mit einem Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen, zum Beispiel der Regula falsi, dem Sekantenverfahren, dem Newtonverfahren oder dem Householder-Verfahren löst. Schnittpunkte einer Gerade mit einem Kegelschnitt (Kreis, Hyperbel, Ellipse, Parabel) oder einer Quadrik (Kugel, Ellipsoid, Hyperboloid …) führen auf quadratische Gleichungen und sind auch noch relativ leicht lösbar. Für den Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene, einer Kugel, einem Zylinder oder einem Kegel bietet die darstellende Geometrie Methoden, um Schnittpunkte zeichnerisch zu bestimmen^[1].

Für den Schnittpunkt zweier nicht paralleler

• Geraden (gegeben in Koordinatenform) ${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}$

ergibt sich mit der Cramerschen Regel für die Koordinaten des Schnittpunktes ${\displaystyle (x_{s},y_{s})}$

${\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\ }$

Falls ${\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0}$ ist, sind die beiden Geraden parallel.

• Für eine Gerade durch die Punkte

${\displaystyle P_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle P_{2}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}}$

und eine Gerade durch die Punkte

${\displaystyle P_{3}={\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle P_{4}={\begin{pmatrix}x_{4}\\y_{4}\end{pmatrix}}}$

Berechnet man den Schnittpunkt, indem man zuvor die Zweipunkteformen in Koordinatenformen umrechnet.

Der Schnittpunkt ${\displaystyle S={\begin{pmatrix}x_{s}\\y_{s}\end{pmatrix}}}$ ergibt sich zu

${\displaystyle x_{s}={\frac {(x_{2}-x_{1})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})-(x_{4}-x_{3})(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{4}-y_{3})-(y_{2}-y_{1})(x_{4}-x_{3})}}}$

und

${\displaystyle y_{s}={\frac {(y_{2}-y_{1})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})-(y_{4}-y_{3})(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{4}-y_{3})-(y_{2}-y_{1})(x_{4}-x_{3})}}}$.

Sind zwei nicht parallele Strecken ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ und ${\displaystyle (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})}$ gegeben, so müssen sie sich nicht schneiden. Denn der Schnittpunkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ der zugehörigen Geraden muss nicht in beiden Strecken enthalten sein. Um letzteres zu klären, stellt man beide Strecken parametrisiert dar:

${\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1}))}$,

${\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3}))\ .}$

Schneiden sich die Strecken, so muss der gemeinsame Punkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ der zugehörigen Geraden Parameter ${\displaystyle s_{0},t_{0}}$ haben mit der Eigenschaft ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$. Die Schnittparameter ${\displaystyle s_{0},t_{0}}$ sind Lösung des linearen Gleichungssystems

${\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},}$

${\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .}$

Dieses löst man (wie oben) mit der Cramerschen Regel, überprüft die Schnittbedingung ${\displaystyle 0\leq s_{0}\leq 1,\ 0\leq t_{0}\leq 1}$ und setzt ${\displaystyle s_{0}}$ oder ${\displaystyle t_{0}}$ in die zugehörige Parameterdarstellung ein, um schließlich den Schnittpunkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ zu erhalten.

Beispiel

Für die Strecken ${\displaystyle (1,1),(3,2)}$ und ${\displaystyle (1,4),(2,-1)}$ erhält man das Gleichungssystem

${\displaystyle 2s-t=0}$

${\displaystyle s+5t=3}$

und ${\displaystyle s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}}$. D. h. die Strecken schneiden sich und der Schnittpunkt ist ${\displaystyle ({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})}$.

Bemerkung: Betrachtet man Geraden durch zwei Punktepaare (nicht Strecken !), so kann man die Bedingung ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$ ignorieren und erhält mit dieser Methode den Schnittpunkt der beiden Geraden (s. vorigen Abschnitt).

Um den Schnitt der

• Gerade ${\displaystyle ax+by=c}$ mit dem Kreis ${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}}$

zu berechnen, wird zunächst das System durch Setzen von ${\displaystyle {\bar {x}}=x-x_{0}}$ und ${\displaystyle {\bar {y}}=y-y_{0}}$ so verschoben, dass der Kreismittelpunkt im Nullpunkt liegt. Dadurch ergibt sich als neue Kreisgleichung

${\displaystyle {\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}=r^{2}}$

und als neue Geradengleichung

${\displaystyle a{\bar {x}}+b{\bar {y}}=d}$ mit ${\displaystyle d=c-ax_{0}-by_{0}}$.

Durch Auflösen der Geradengleichung nach ${\displaystyle {\bar {x}}}$ oder ${\displaystyle {\bar {y}}}$, Einsetzen in die Kreisgleichung, Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen und anschließendes Rückgängigmachen der Verschiebung ergeben sich dann die Schnittpunkte ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ mit

${\displaystyle x_{1/2}=x_{0}+{\frac {ad\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-d^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}},\quad y_{1/2}=y_{0}+{\frac {bd\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-d^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

sofern ${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})\geq d^{2}}$ gilt. Im Fall der Gleichheit gibt es nur einen Schnittpunkt und die Gerade ist eine Tangente des Kreises.

Bemerkung: Die Schnittpunkte einer Gerade mit einer Parabel oder einer Hyperbel lassen sich analog durch Lösen einer quadratischen Gleichung bestimmen.

Die Bestimmung der Schnittpunkte zweier Kreise

• ${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}}$

lässt sich durch Subtraktion der beiden Gleichungen auf das Problem Schnittpunkte der Gerade (Potenzgerade)

${\displaystyle 2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$

mit einem der beiden Kreise zurückführen.

Sonderfall ${\displaystyle \;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0}$:
In diesem Fall hat der erste Kreis den Nullpunkt als Mittelpunkt und der zweite Mittelpunkt liegt auf der x-Achse. Dadurch vereinfacht sich die Gleichung der Potenzgerade zu ${\displaystyle \;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;}$ und für die Schnittpunkte ${\displaystyle (x_{0},\pm y_{0})}$ ergibt sich

${\displaystyle x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},}$

${\displaystyle y_{0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2}}}={\frac {\sqrt {4r_{1}^{2}r_{2}^{2}-(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-x_{2}^{2})^{2}}}{2x_{2}}}\ .}$

Falls ${\displaystyle r_{1}^{2}<x_{0}^{2}}$ ist, schneiden sich die Kreise nicht. Im Fall ${\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2}}$ berühren sich die Kreise.

Allgemeiner Fall

Für den allgemeinen Fall mit den Kreismittelpunkten ${\displaystyle M_{1}=(x_{1},y_{1}),\;M_{2}=(x_{2},y_{2})}$ verwendet man Ergebnisse des Sonderfalls und setzt:

${\displaystyle d_{12}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\quad }$ (Abstand der Mittelpunkte),

${\displaystyle d_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d_{12}^{2}}{2d_{12}}}\quad }$ (Abstand der Potenzgerade zu ${\displaystyle M_{1}}$),

${\displaystyle e_{0}={\sqrt {r_{1}^{2}-d_{0}^{2}}}\quad }$ (Abstand der Schnittpunkte von ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$),

${\displaystyle {\vec {m}}={(x_{2}-x_{1})/d_{12} \choose (y_{2}-y_{1})/d_{12}},\quad {\vec {n}}={-(y_{2}-y_{1})/d_{12} \choose (x_{2}-x_{1})/d_{12}}\quad }$

(gedrehte Orthonormalbasis, siehe Bild).

Die Ortsvektoren der Schnittpunkte ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ sind dann:

${\displaystyle {\vec {p}}_{1/2}={\vec {m}}_{1}+d_{0}{\vec {m}}\pm e_{0}{\vec {n}}.}$

(${\displaystyle {\vec {m}}_{1}}$ ist der Ortsvektor von ${\displaystyle M_{1}}$.)

Die Aufgabe, die Schnittpunkte einer Ellipse/Hyperbel/Parabel mit einer Ellipse/Hyperbel/Parabel zu bestimmen, führt bei Elimination einer Koordinate i.a. auf eine Gleichung vierten Grades, die nur in speziellen Fällen leicht lösbar ist. Die Schnittpunkte lassen sich allerdings auch iterativ mit Hilfe des 1- bzw. 2-dimensionalen Newton-Verfahrens bestimmen, je nachdem man a) beide Kegelschnitte implizit (→ 2-dim. Newton) oder b) einen implizit und den anderen parametrisiert darstellt (→ 1-dim. Newton). Siehe hierzu den nächsten Abschnitt.

Zwei in der Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ liegende, stetig differenzierbare Kurven (also Kurven ohne „Knick“) haben einen Schnittpunkt, wenn sie einen Punkt der Ebene gemeinsam haben und die beiden Kurven in diesem Punkt entweder

a) unterschiedliche Tangenten aufweisen (transversales Schneiden), oder

b) gemeinsame Tangenten haben und sich in dem Punkt kreuzen (berührendes Schneiden, siehe Bild).

Falls die beiden Kurven zwar einen gemeinsamen Punkt ${\displaystyle S}$ und dort eine gemeinsame Tangente haben, aber sich nicht kreuzen, berühren sie sich in ${\displaystyle S}$.

Da berührendes Schneiden eher selten vorkommt und rechnerisch sehr aufwendig zu behandeln ist, wird im Folgenden stets transversales Schneiden vorausgesetzt. Um es nicht immer wieder erwähnen zu müssen, werden auch die jeweils nötigen Differenzierbarkeits-Bedingungen vorausgesetzt. Die Bestimmung von Schnittpunkten führt immer wieder auf das Problem, eine Gleichung mit einer bzw. zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen zu müssen. Die Gleichungen sind im Allgemeinen nicht linear und können dann beispielsweise mit dem 1- oder 2-dimensionalen Newton-Verfahren numerisch gelöst werden. Im Folgenden werden die einzelnen Fälle und die zu lösenden Gleichungen beschrieben:

• Falls beide Kurven explizit vorliegen: ${\displaystyle y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)}$ liefert Gleichsetzen die Gleichung

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .}$

• Falls beide Kurven parametrisiert vorliegen: ${\displaystyle K_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ K_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s))}$.

Gleichsetzen liefert zwei Gleichungen für zwei Unbekannte:

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .}$

• Falls eine Kurve parametrisiert und die andere implizit gegeben sind: ${\displaystyle K_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ K_{2}:f(x,y)=0}$.

Dies ist nach dem expliziten der einfachste Fall. Denn man muss hier nur die Parameterdarstellung von ${\displaystyle K_{1}}$ in die Gleichung ${\displaystyle f(x,y)=0}$ von ${\displaystyle K_{2}}$ einsetzen und erhält die Gleichung

${\displaystyle f(x_{1}(t),y_{1}(t))=0\ .}$

• Falls beide Kurven implizit gegeben sind: ${\displaystyle K_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ K_{2}:f_{2}(x,y)=0}$.

Ein Schnittpunkt ist hier die Lösung des im Allgemeinen nichtlinearen Gleichungssystems

${\displaystyle f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .}$

Die für das jeweilige Newton-Verfahren nötigen Startwerte lassen sich aus einer Visualisierung der beiden Kurven gewinnen. Eine parametrisiert oder explizit gegebene Kurve lässt sich leicht visualisieren, da man zu vorgegebenem Parameter ${\displaystyle t}$ bzw. ${\displaystyle x}$ direkt einen Punkt berechnen kann. Für implizit gegebene Kurven ist dies nicht so einfach. Hier muss man im Allgemeinen mit Hilfe von Startpunkten und einem Iterationsverfahren Kurvenpunkte berechnen^[2].

Beispiele

1: ${\displaystyle K_{1}:(t,t^{3})}$ und Kreis ${\displaystyle K_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0}$ (s. Bild).

Es ist die Newton-Iteration ${\displaystyle t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n})}}}$ für

${\displaystyle f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10}$ durchzuführen. Als Startwerte kann man −1 und 1,5 wählen.

Die Schnittpunkte sind: (−1,1073; −1.3578) und (1,6011; 4,1046)

2: ${\displaystyle K_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,}$

${\displaystyle K_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0.5)^{2}+(y-0.5)^{2}-1=0}$ (s. Bild).

Es ist die Newton-Iteration

${\displaystyle {x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}}$ durchzuführen, wobei ${\displaystyle {\delta _{x} \choose \delta _{y}}}$ die Lösung des linearen Gleichungssystems

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}}$ an der Stelle ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ist. Als Startpunkte kann man (−0,5; 1) und (1; −0,5) wählen.

Das lineare Gleichungssystem löst man am einfachsten mit der Cramerschen Regel.

Als Schnittpunkte ergeben sich (−0.3686; 0,9953) und (0,9953; −0,3686).

Falls man Schnittpunkte zweier Polygone sucht, kann man jede Teilstrecke des einen Polygons mit jeder Teilstrecke des anderen Polygons auf Schneiden untersuchen (s. oben: Schnitt zweier Strecken). Für Polygone mit vielen Teilstrecken ist diese einfache Methode sehr zeitaufwändig. Durch sogenannte Fenstertests lässt sich die Rechenzeit deutlich reduzieren. Dabei fasst man mehrere Teilstrecken zu einem Teilpolygon zusammen und berechnet das zugehörige Fenster, das ist das minimale achsenparallele Rechteck, das das Teilpolygon enthält. Bevor aufwändig ein Schnittpunkt zweier Teilpolygone berechnet wird, werden die zugehörigen Fenster auf Überlappung getestet^[3].

Im 3-dimensionalen Raum spricht man von einem Schnittpunkt (gemeinsamer Punkt) einer Kurve mit einer Fläche. Bei den folgenden Überlegungen sollen (wie oben) nur die transversalen Schnitte einer Kurve mit einer Fläche behandelt werden.

Eine Gerade wird im Raum in der Regel durch eine Parameterdarstellung ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$ und eine Ebene durch eine Gleichung ${\displaystyle ax+by+cz=d}$ beschrieben. Durch Einsetzen der Parameterdarstellung der Gerade in die Ebenengleichung ergibt sich die lineare Gleichung

${\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,}$

für den Parameter ${\displaystyle t_{0}}$ des Schnittpunktes ${\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}$. (Falls die lineare Gleichung keine Lösung besitzt, ist die Gerade parallel zur Ebene. Falls die Gleichung für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ erfüllt ist, ist die Gerade in der Ebene enthalten.)

Ist eine Gerade als Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2}$ gegeben und soll mit einer dritten Ebene ${\displaystyle \varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}}$ geschnitten werden, muss der gemeinsame Punkt der 3 Ebenen bestimmt werden.

Drei Ebenen ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3}$ mit linear unabhängigen Normalenvektoren ${\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}}$ besitzen den Schnittpunkt

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})}}\ .}$

Zum Beweis überzeuge man sich von ${\displaystyle {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,}$ unter Beachtung der Regeln für ein Spatprodukt.

Analog wie im ebenen Fall führen die folgenden Fälle zu im Allgemeinen nicht linearen Gleichungssystemen, die mit einem 1- bzw. 3-dimensionalen Newton-Verfahren gelöst werden können:^[4]

• parametrisierte Kurve ${\displaystyle K:(x(t),y(t),z(t))}$ und

parametrisierte Fläche ${\displaystyle F:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,}$

• parametrisierte Kurve ${\displaystyle K:(x(t),y(t),z(t))}$ und

implizite Fläche ${\displaystyle F:f(x,y,z)=0\ .}$

Beispiel

parametrisierte Kurve ${\displaystyle K:(t,t^{2},t^{3})}$ und

implizite Fläche ${\displaystyle F:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0}$ (siehe Bild)

Zu lösende Gleichung: ${\displaystyle t^{4}+t^{8}+t^{12}-1=0}$

Die Schnittpunkte sind: (−0,8587; 0,7374; −0,6332), (0,8587; 0,7374; 0,6332).

Bemerkung: Eine Gerade kann auch in einer Ebene enthalten sein. Dann gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte. Auch eine Kurve kann teilweise oder vollständig in einer Fläche enthalten sein (siehe Kurven auf der Fläche ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0}$). In diesen Fällen spricht man aber nicht mehr von Schnittpunkt.

• Schnittpunkt (Darstellende Geometrie)
• Schnittgerade
• Schnittkurve
• Schnittwinkel (Geometrie)
• Nullstelle

1. ↑ Darstellende Geometrie für Architekten (PDF; 1,5 MB). Skript (Uni Darmstadt), S. 35,73,74
2. ↑ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 69
3. ↑ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 79
4. ↑ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 147.

Wiktionary: Schnittpunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen