Schnirelmann-Dichte
Die Schnirelmann-Dichte soll in der additiven Zahlentheorie die "Dichtheit" einer Folge quantifizieren. Sie ist stets wohldefiniert, auch wenn die asymptotische Dichte einer Folge nicht existiert.
Definition
Sei eine Menge natürlicher Zahlen. Dann ist ihre Schnirelmann-Dichte
, wobei die Anzahl der natürlichen Zahlen in A beschreibt, die n nicht überschreiten.
Aus der Definition folgt und . Es gilt also insbesondere
- und
- .
- Damit sind die Schnirelmann-Dichten der geraden und ungeraden Zahlen jeweils und .
- .
Satz von Mann
Dieser Satz wurde 1942 von Henry Mann bewiesen:
- Seien Mengen natürlicher Zahlen und . Dann gilt:
Waringsches Problem
- Sei . Dann lässt sich das waringsche Problem wie folgt formulieren:
- Für jedes existiert ein , sodass .
- Jede natürliche Zahl lässt sich also als Summe aus -Potenzen darstellen.
- Für jedes existiert ein , sodass .
Literatur
- Henry Mann: A proof of the fundamental theorem on the density of sums of sets of positive integers. Ann. math. 43, 43, 523–527 (1942)
- Lew Schnirelmann: Über additive Eigenschaften von Zahlen. Math. Ann. 107, 649–690 (1933)