Schleife (Topologie)

Eine freie Schleife in der Ebene.

Eine Schleife auf dem Torus mit Basispunkt ${\displaystyle p}$.

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, werden geschlossene Kurven auch als Schleifen bezeichnet.

Freie Schleifen und Schleifen

Eine freie Schleife in einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle f}$ vom Einheitsintervall ${\displaystyle I=[0,1]}$ auf ${\displaystyle X}$, wobei gilt ${\displaystyle f(0)=f(1)}$. Das bedeutet, dass der Anfangspunkt gleich dem Endpunkt ist. Eine freie Schleife kann auch als stetige Abbildung des Einheitskreises ${\displaystyle S^{1}}$ nach ${\displaystyle X}$ gesehen werden, da ${\displaystyle S^{1}}$ als Quotient von ${\displaystyle I}$ unter der Identifizierung von 0 mit 1 gesehen werden kann.

Wenn im Raum ${\displaystyle X}$ ein Basispunkt ${\displaystyle x_{0}\in X}$ festgelegt ist, dann bezeichnet man als Schleife eine stetige Abbildung ${\displaystyle f}$ vom Einheitsintervall ${\displaystyle I=[0,1]}$ auf ${\displaystyle X}$, wobei gilt ${\displaystyle f(0)=f(1)=x_{0}}$. Das bedeutet, dass Anfangspunkt und Endpunkt gleich dem festen Basispunkt sind. Eine Schleife kann auch als stetige Abbildung des Einheitskreises ${\displaystyle S^{1}}$ nach ${\displaystyle X}$ gesehen werden, wobei ein fest gewählter Basispunkt ${\displaystyle \left[1\right]}$ von ${\displaystyle S^{1}}$ auf den fest gewählten Basispunkt ${\displaystyle x_{0}\in X}$ abgebildet wird.^[1]

Homotopieklassen

Man bezeichnet zwei freie Schleifen als (frei) homotop, wenn es eine Homotopie zwischen den beiden Abbildungen ${\displaystyle S^{1}\to X}$ gibt.

Zwei Schleifen werden als homotop bezeichnet, wenn es eine freie Homotopie ${\displaystyle H\colon S^{1}\times \left[0,1\right]\to X}$ gibt, die zusätzlich die Bedingung ${\displaystyle H(\left[1\right],t)=x_{0}}$ für alle ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$ erfüllt. Die Mengen der Homotopieklassen von Schleifen bildet das wichtige Konzept der Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$.

Die Menge aller Schleifen in einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ wird Schleifenraum genannt und mit ${\displaystyle \Omega X}$ bezeichnet. Die Menge der freien Schleifen wird als freier Schleifenraum ${\displaystyle LX}$ bezeichnet.

Einzelnachweise

1. ↑ Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, Bibliographisches Institut Mannheim (1978), ISBN 3-411-00121-6, Absatz 7.1: Wege und Homotopie von Wegen