Schilow-Rand

Der Schilow-Rand (nach Georgi Schilow, nach englischer Transkription auch Shilov-Rand) ist ein mathematisches Konzept aus der Theorie der kommutativen ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebren. Damit wird eine Version des aus der Funktionentheorie bekannten Maximumprinzips auf kommutative Banachalgebren übertragen.

Motivation

Der Einfachheit beschränken wir uns auf kommutative Algebren mit Einselement. Es seien ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle A\subset C(X)}$ eine Unteralgebra der Banachalgebra ${\displaystyle C(X)}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {C} }$ mit folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle 1\in A}$, das heißt ${\displaystyle A}$ enthält die konstante Funktion 1,
• ${\displaystyle \forall x\not =y\in X:\exists a\in A:a(x)\not =a(y)}$, das heißt ${\displaystyle A}$ trennt die Punkte von ${\displaystyle X}$

Man sagt dann kurz, ${\displaystyle A}$ sei eine Funktionenalgebra auf ${\displaystyle X}$.

Eine abgeschlossene Teilmenge ${\displaystyle E\subset X}$ heißt maximierend (für ${\displaystyle A}$), falls für alle Funktionen ${\displaystyle a\in A}$ Folgendes gilt: ${\displaystyle \sup\{|a(x)|;x\in X\}=\sup\{|a(x)|;x\in E\}}$.^[1]

Ist zum Beispiel ${\displaystyle X=\mathbb {D} :=\{z\in \mathbb {C} ;\,|z|\leq 1\}}$ die Kreisscheibe und ${\displaystyle A}$ die Diskalgebra, das heißt die Algebra aller stetigen Funktionen auf ${\displaystyle \mathbb {D} }$, die im Inneren ${\displaystyle \mathbb {D} ^{\circ }}$ holomorph sind, so ist wegen des Maximumprinzips der Funktionentheorie jede abgeschlossene Teilmenge, die den Rand ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$ enthält, eine maximierende Menge. Insbesondere ist ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$ die kleinste maximierende Menge.

Schilow-Rand für Funktionenalgebren

Das Beispiel der Diskalgebra verallgemeinert sich zu folgendem auf Schilow zurückgehenden Satz:

• Sind ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle A}$ eine Funktionenalgebra auf ${\displaystyle X}$, so ist der Durchschnitt aller maximierenden Mengen für ${\displaystyle A}$ nicht leer und wieder maximierend.^[2]

Insbesondere gibt es also eine kleinste maximierende Menge. Diese nennt man den Schilow-Rand der Funktionenalgebra ${\displaystyle A}$, übliche Bezeichnungen sind ${\displaystyle S(A),{\check {S}}(A)}$ oder ${\displaystyle \partial A}$. Da maximierende Mengen Ränder sind, ist auch der Schilow-Rand ein Rand.^[3]

Schilow-Rand für kommutative Banachalgebren

Sei ${\displaystyle A}$ eine kommutative ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement. Der Gelfand-Raum ${\displaystyle X_{A}}$ ist bekanntlich ein kompakter Hausdorffraum und die Gelfand-Transformation ${\displaystyle A\rightarrow C(X_{A})}$ bildet ${\displaystyle A}$ auf eine Funktionenalgebra ${\displaystyle {\hat {A}}}$ auf ${\displaystyle X_{A}}$ ab. Der Schilow-Rand der Funktionenalgebra ${\displaystyle {\hat {A}}}$ wird Schilow-Rand von ${\displaystyle A}$ genannt und ebenfalls mit ${\displaystyle S(A),{\check {S}}(A)}$ oder ${\displaystyle \partial A}$ bezeichnet.

Beispiele

• Der Gelfand-Raum der Diskalgebra ${\displaystyle A}$ ist die Menge der Punktauswertungen ${\displaystyle \delta _{z}:A\rightarrow \mathbb {C} ,\,a\mapsto \delta _{z}(a):=a(z)}$ und die Abbildung ${\displaystyle \mathbb {D} \rightarrow X_{A},\,z\mapsto \delta _{z}}$ ist ein Homöomorphismus. Identifiziert man ${\displaystyle \mathbb {D} }$ mittels dieses Homöomorphismus mit ${\displaystyle X_{A}}$, so ${\displaystyle A={\hat {A}}}$ und es ist ${\displaystyle \partial A=\partial \mathbb {D} }$.
• Sei ${\displaystyle X:=\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};\,|z|\leq 1,|w|\leq 1\}}$ der Bizylinder mit Radius ${\displaystyle (1,1)}$. ${\displaystyle A}$ sei die von allen Polynomen in zwei Variablen erzeugte Unter-Banachalgebra von ${\displaystyle C(X)}$. Man kann zeigen, dass der Gelfand-Raum von ${\displaystyle A}$ die Menge der Punktauswertungen ${\displaystyle \delta _{x}:A\rightarrow \mathbb {C} ,a\mapsto a(x)}$ für ${\displaystyle x\in X}$ ist und dass ${\displaystyle X\rightarrow X_{A},x\mapsto \delta _{x}}$ eine Homöomorphismus ist. Man kann also wie oben ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle X_{A}}$ identifizieren. Dann kann man zeigen, dass ${\displaystyle \partial A=\{(z,w)\in X;\,|z|=1=|w|\}}$. In diesem Fall ist der Schilow-Rand kleiner als der topologische Rand von ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle A=C(X)}$, so ist ${\displaystyle \partial A=X_{A}}$.

Bemerkungen

• Ist ${\displaystyle A}$ eine kommutative ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement, so gilt für die Gelfand-Transformierte ${\displaystyle {\hat {a}}:X_{A}\rightarrow \mathbb {C} }$, dass ${\displaystyle \sup\{|{\hat {a}}(\varphi )|;\,\varphi \in X_{A}\}\,=\,\sup\{|{\hat {a}}(\varphi )|;\,\varphi \in \partial A\}}$. Das folgt direkt aus den Definitionen, denn ${\displaystyle \partial A}$ ist eine maximierende Menge der Funktionenalgebra ${\displaystyle {\hat {A}}}$. Die Gelfand-Transformierten erfüllen damit ein Maximumprinzip bzgl. des Schilow-Randes. Darüber hinaus gilt folgende lokale Version des Maximumprinzips:^[4]

Ist   ${\displaystyle U\subset X_{A}\setminus \partial A}$   offen, so gilt für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle \varphi \in U}$, dass ${\displaystyle \textstyle |{\hat {a}}(\varphi )|\leq \sup _{\psi \in \partial U}|{\hat {a}}(\psi )|}$.

• Der Choquet-Rand ist stets als dichte Teilmenge im Schilow-Rand enthalten.^[5]

• Bekanntlich gilt für das Spektrum ${\displaystyle \sigma (a)}$ von ${\displaystyle a\in A}$ die Formel ${\displaystyle \sigma (a)={\hat {a}}(X_{A})}$. Bezüglich der Ränder der Spektren gilt die Formel ${\displaystyle \partial \sigma (a)\subset {\hat {a}}(\partial A)}$.^[6]

Einzelnachweise

1. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Definition 1
2. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Theorem 3
3. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Definition 4
4. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Theorem 11
5. ↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Korollar 9.4.1
6. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Satz 7