Schenkeltransversalensatz


(dunkelgraue Fläche = hellgraue Fläche)

(dunkelgraue Fläche = hellgraue Fläche)

Der Schenkeltransversalensatz ist ein Satz der Elementargeometrie über gleichschenklige Dreiecke. Er beschreibt die Flächengleichheit bestimmter Rechtecke, die durch den Schnitt des gleichschenkligen Dreiecks mit einer bestimmten Transversalen entstehen. Der Satz liefert in einem Spezialfall zudem den Satz des Pythagoras und man kann ihn daher als dessen Verallgemeinerung betrachten. Allerdings lässt der Satz sich auch mit Hilfe des Satzes von Pythagoras beweisen, so dass beide Sätze letztlich gleichwertig bzw. logisch äquivalent sind.[1] Der Satz folgt auch aus dem Satz von Stewart.

Der Schenkeltransversalensatz soll schon in den Elementen des Euklid (um 300 v. Chr.) auftauchen.[2]

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis und der Spitze . Die durch die Basis verlaufende Gerade sei mit bezeichnet.

Weiter sei gegeben eine Transversale durch die Spitze von , welche in einem Punkt schneidet.

Dann gilt:

,

falls nicht auf der Strecke liegt und

,

falls zwischen und liegt.

Beweis

Skizze zum Beweis

Die Höhe teilt die Grundseite des gleichschenkligen Dreieckes in zwei gleich große Abschnitte. Zudem liefert sie die rechtwinkligen Dreiecke und , auf die man den Satz des Pythagoras anwendet. Das ergibt zwei Gleichungen, aus denen dann die Aussage des Satzes folgt.

Fall 1: liegt außerhalb von

Löst man die zweite Gleichung nach auf und setzt den so erhaltenen Wert für in der ersten Gleichung ein, so erhält man:
Skizze zum Beweis

Fall 2: liegt innerhalb von

Löst man die zweite Gleichung nach auf und setzt den so erhaltenen Wert für in der ersten Gleichung ein, so erhält man:

Satz des Pythagoras als Spezialfall


(Satz des Pythagoras für )

Betrachtet man den Spezialfall, bei dem in der Mitte der Grundseite liegt, so ist mit der Höhe des gleichschenkligen Dreiecks identisch und das Rechteck ist ein Quadrat. Damit gilt dann der Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck . Für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck erhält man durch Spiegelung an einer seiner beiden Katheten, immer ein gleichschenkliges Dreieck, in dem der Schenkeltransversalensatz gilt und einem den Satz des Pythagoras liefert.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. 13. Auflage. Ausgabe E. Teil 2. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965, S. 104.
  2. Im Lambacher-Schweizer, S. 232, wird der Schenkeltransversalensatz wie folgt mit der Satzgruppe des Pythagoras in Verbindung gebracht: „Der älteste überlieferte Beweis stammt von Euklid (um 300 v. Chr.) und krönt das 1. Buch seiner ElementeEuklid verfährt nach … und beweist zuerst den Kathetensatz. Er bringt auch den Höhensatz, den allgemeinen pythagoreischen Satz … und den Schenkeltransversalensatz“.

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