Schafarewitsch-Vermutung

In der Mathematik ist die Schafarewitsch-Vermutung eine 1983 von Gerd Faltings bewiesene Vermutung aus der arithmetischen Geometrie. Sie wurde ursprünglich von Schafarewitsch auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1962 in Stockholm aufgestellt und für hyperelliptische Kurven bewiesen.

Aussage

Die Schafarewitsch-Vermutung besagt, dass es für einen Zahlkörper ${\displaystyle K}$ und eine endliche Menge von Primidealen ${\displaystyle S}$ im Ganzheitsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ nur endlich viele Kurven gegebenen Geschlechts ${\displaystyle g\geq 1}$ gibt, deren Néron-Modelle modulo der Ideale in ${\displaystyle S}$ schlechte Reduktion haben, d. h. nach Reduktion algebraische Kurven mit Singularitäten sind.

Durch Übergang zur Jacobi-Varietät und Verwendung des Satzes von Torelli ist die Vermutung äquivalent zu der Vermutung, dass es nur endlich viele ${\displaystyle g}$-dimensionale, prinzipal polarisierte, abelsche Varietäten mit schlechter Reduktion modulo der Ideale in ${\displaystyle S}$ gibt.

Beispiele

Für ${\displaystyle g=1}$ besagt die Schafarewitsch-Vermutung, dass es nur endlich viele elliptische Kurven über ${\displaystyle K}$ gibt, deren Néron-Modelle bezüglich Primzahlen in ${\displaystyle S}$ schlechte Reduktion haben. Tatsächlich sind Néron-Modelle elliptischer Kurven durch eine Gleichung ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$ gegeben und sie haben nur dann schlechte Reduktion modulo ${\displaystyle S}$, wenn ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \lambda -1}$ nur durch die Primzahlen in ${\displaystyle S}$ teilbar sind. Dies ist zu einer gegebenen Menge ${\displaystyle S}$ nur für endlich viele ${\displaystyle \lambda }$ der Fall.

Anwendungen

Aus der Schafarewitsch-Vermutung folgt mit Arbeiten von Alexei Nikolajewitsch Parschin die Mordell-Vermutung: eine algebraische Kurve vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 2}$ über einem Zahlkörper hat nur endlich viele rationale Punkte.

Analoga

Die Schafarewitsch-Vermutung für Funktionenkörper wurde in Charakteristik Null 1971 von Arakelow und in positiver Charakteristik 1978 von Szpiro bewiesen.

Literatur

• G. Faltings: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern, Inv. Math. 73, 349–366 (1983)
• L. Szpiro: Sur le théorème de rigidité de Parsin er Arakelov, Asterisque 164, 169–202 (1979)
• S. Arakelov: Families of curves with fixed degenracies, Math. USSR Izv. 5, 1277–1302 (1979)
• A. N. Parshin: Algebraic curves over function fields I, Math. USSR Izv. 2, 1145–1170 (1968)
• I. R. Shafarevich: Algebraic number fields, Transl. AMS 31, 25–39 (1963)