Satz von Thurston-Bonahon

Der Satz von Thurston-Bonahon ist ein häufig verwendeter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der 3-dimensionalen Topologie, benannt nach William Thurston und Francis Bonahon. Er präzisiert die Dichotomie zwischen geometrisch endlichen und geometrisch unendlichen Flächen in hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten.

Formulierung des Satzes

Es sei ${\displaystyle M}$ eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit von endlichem Volumen, und sei ${\displaystyle F\subset M}$ eine inkompressible, ${\displaystyle \partial }$-inkompressible Fläche.

Dann ist ${\displaystyle F}$ entweder eine virtuelle Faser oder quasifuchssch.

Erläuterungen:

• ${\displaystyle F\subset M}$ heißt geometrisch endlich, wenn das Bild von ${\displaystyle \pi _{1}F}$ unter ${\displaystyle \pi _{1}M\to Isom(H^{3})}$ eine geometrisch endliche Gruppe ist; dies ist im Fall von Flächengruppen äquivalent dazu, dass ${\displaystyle \pi _{1}F}$ eine quasifuchssche Gruppe ist.
• ${\displaystyle F\subset M}$ heißt virtuelle Faser, wenn es eine endliche Überlagerung ${\displaystyle p\colon {\widehat {M}}\to M}$ sowie ein Faserbündel ${\displaystyle {\widehat {M}}\to S^{1}}$ mit Faser ${\displaystyle p^{-1}(F)}$ gibt. Der Satz von Thurston-Bonahon besagt insbesondere, dass jede geometrisch unendliche Fläche in einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens eine virtuelle Faser sein muss.

Geschichte

Der Satz von Thurston-Bonahon ergibt sich aus einer Kombination von Sätzen in Thurstons „Lecture Notes“^[1] und Bonahons Habilitationsschrift^[2] mit älteren Ergebnissen von Albert Marden.^[3] Er wird weder bei Thurston noch bei Bonahon explizit erwähnt.

Der Satz wird in zahlreichen mathematischen Arbeiten zur Topologie von Flächen in 3-Mannigfaltigkeiten verwendet, explizite Formulierungen des Satzes finden sich zuerst bei Cooper-Long-Reid^[4] und in allgemeinerer Form bei Canary.^[5]

Einzelnachweise

1. ↑ William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds. Lecture Notes. Princeton University, Princeton NJ 1976–1979, (online).
2. ↑ Francis Bonahon: Bouts des variétés hyperboliques de dimension 3. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 124, Nr. 1, 1986, S. 71–158, doi:10.2307/1971388.
3. ↑ Albert Marden: The geometry of finitely generated Kleinian groups. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 99, Nr. 3, 1974, S. 383–762, doi:10.2307/1971059.
4. ↑ Theorem 1.1 in: Daryl Cooper, Darren D. Long, Alan W. Reid: Bundles and finite foliations. In: Inventiones Mathematicae. Bd. 118, Nr. 2, 1994, S. 255–283, doi:10.1007/BF01231534.
5. ↑ Corollary 8.3 in: Richard D. Canary: A covering theorem for hyperbolic 3-manifolds and its applications. In: Topology. Bd. 35, Nr. 3, 1996, S. 751–778, (Digitalisat (PDF; 2,5 MB)).