Satz von Tamano

Das Satz von Tamano ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, der auf den japanischen Mathematiker Hisahiro Tamano zurückgeht.^[1][2][3][4] Er charakterisiert die Parakompaktheit topologischer Räume mittels der Konzepte von Normalität und Kompaktheit unter Einbeziehung der Stone-Čech-Kompaktifizierung.

Formulierung des Satzes

Für jeden Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$ sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

1. ${\displaystyle X}$ ist parakompakt.
2. ${\displaystyle X}$ ist vollständig regulär und das topologische Produkt ${\displaystyle X\times {\beta {X}}}$ von ${\displaystyle X}$ mit seiner Stone-Čech-Kompaktifizierung ${\displaystyle \beta {X}}$ ist normal.
3. Das topologische Produkt ${\displaystyle X\times K}$ von ${\displaystyle X}$ mit jedem beliebigen kompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle K}$ ist normal.

Korollar

Für jeden parakompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$ und jeden kompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle Y}$ ist das topologische Produkt ${\displaystyle X\times Y}$ ein parakompakter Hausdorff-Raum.^[5][6][7]

Dies folgt sofort mit (3) und dem Satz von Tychonoff. Dieses Korollar wiederum zieht seinerseits das folgende Resultat nach sich:

Für jeden Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$ sind die folgenden beiden Bedingungen gleichwertig:

1. ${\displaystyle X\times Y}$ ist normal für jeden parakompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle Y}$.
2. ${\displaystyle X\times Y}$ ist parakompakt für jeden parakompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle Y}$.^[8]

Literatur

Artikel

• Hisahiro Tamano: On Paracompactness. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 10, Nr. 3, 1960, S. 1043–1047, doi:10.2140/pjm.1960.10.1043. 

Monografien

• Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2. überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing, Amsterdam / New York / Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3 (MR0831659). 
• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970. 
• Gregory Naber: Set-theoretic Topology. With emphasis on problems from the theory of coverings, zero dimensionality and cardinal invariants. University Microfilms International, Ann Arbor MI 1977, ISBN 0-8357-0257-X. 
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6. 

Einzelnachweise

1. ↑ Tamano: On Paracompactness. 1960, S. 1043–1047.
2. ↑ Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 161.
3. ↑ Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 237.
4. ↑ Willard: General Topology. 1970, S. 154.
5. ↑ Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 148.
6. ↑ Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 223.
7. ↑ Schubert: Topologie. 1975, S. 85.
8. ↑ Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 163.