Satz von Steiner (Geometrie)

Der Satz von Steiner, auch Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts genannt, nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner, ist eine alternative Möglichkeit, einen nicht ausgearteten Kegelschnitt in einer projektiven Ebene über einem Körper (pappussche Ebene) zu definieren:

• Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten ${\displaystyle U,V}$ (alle Geraden durch den Punkt ${\displaystyle U}$ bzw. ${\displaystyle V}$) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung ${\displaystyle \pi }$ des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nicht ausgearteten Kegelschnitt.^{[1][2][3][4][5]} (s. 1. Bild)

Unter einer perspektiven Abbildung ${\displaystyle \pi }$ eines Geradenbüschels eines Punktes ${\displaystyle U}$ auf das Geradenbüschel in einem Punkt ${\displaystyle V}$ versteht man eine Bijektion (eineindeutige Zuordnung) der Geraden in ${\displaystyle U}$ auf die Geraden in ${\displaystyle V}$ so, dass sich zugeordnete Geraden auf einer festen Gerade ${\displaystyle a}$ schneiden. ${\displaystyle a}$ heißt die Achse der perspektiven Abbildung ${\displaystyle \pi }$ (s. 2. Bild).

Unter einer projektiven Abbildung versteht man die Hintereinanderausführung endlich vieler perspektiver Abbildungen eines Geradenbüschels.

Als Körper kann man sich z. B. die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$, die rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ oder die komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ vorstellen. Aber auch endliche Körper sind als Koordinatenbereiche erlaubt.

Bemerkung: Der Fundamentalsatz^[6] für projektive Ebenen sagt aus, dass eine projektive Abbildung in einer pappusschen projektiven Ebene durch die Vorgabe der Bilder von 3 Geraden schon eindeutig bestimmt ist. Dies bedeutet, dass man bei der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts außer den Grundpunkten ${\displaystyle U,V}$ nur die Bilder dreier Geraden vorgeben muss. Durch diese 5 Bestimmungsstücke ist der Kegelschnitt dann schon eindeutig bestimmt.

Bemerkung: Die Bezeichnung „perspektiv“ stammt von der dualen Aussage her: Projiziert man die Punkte einer Gerade ${\displaystyle u}$ von einem Punkt ${\displaystyle Z}$ (Zentrum) aus auf eine Gerade ${\displaystyle v}$, so nennt man diese Abbildung perspektiv (siehe dualen Fall).

Einfaches Beispiel: Verschiebt man im 1. Bild den Punkt ${\displaystyle U}$ und sein Geradenbüschel in den Punkt ${\displaystyle V}$ und dreht anschließend das Büschel in ${\displaystyle V}$ um einen festen Winkel ${\displaystyle \varphi }$, so erzeugt die Verschiebung zusammen mit der Drehung eine projektive Abbildung des Geradenbüschels in ${\displaystyle U}$ auf das Geradenbüschel in ${\displaystyle V}$. Der entstehende Kegelschnitt ist wegen des Peripheriewinkelsatzes ein Kreis.

In dem folgenden Beispiel sind die Bilder der Geraden ${\displaystyle a,u,w}$ vorgegeben: ${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$. Die projektive Abbildung ${\displaystyle \pi }$ lässt sich als Produkt (Hintereinanderausführung) der folgenden perspektiven Abbildungen ${\displaystyle \pi _{b},\pi _{a}}$ darstellen:

1) ${\displaystyle \pi _{b}}$ ist die perspektive Abbildung des Büschels in ${\displaystyle U}$ auf das Büschel in ${\displaystyle O}$ mit der Achse ${\displaystyle b}$.

2) ${\displaystyle \pi _{a}}$ ist die perspektive Abbildung des Büschels in ${\displaystyle O}$ auf das Büschel in ${\displaystyle V}$ mit der Achse ${\displaystyle a}$.

Man überzeugt sich, dass die projektive Abbildung ${\displaystyle \pi =\pi _{a}\pi _{b}}$ tatsächlich die behauptete Eigenschaft ${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$ hat. Damit lässt sich für jede beliebige Gerade ${\displaystyle g}$ das Bild ${\displaystyle \pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)}$ und damit beliebig viele Punkte des Kegelschnitts konstruieren. Da auf der Gerade ${\displaystyle u}$ bzw. ${\displaystyle v}$ nur der Kegelschnittpunkt ${\displaystyle U}$ bzw. ${\displaystyle V}$ liegt, sind ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ Tangenten des Kegelschnitts.

Den Beweis, dass durch diese Konstruktion ein Kegelschnitt entsteht, führt man am einfachsten durch den Übergang zu einer affinen Einschränkung mit der Gerade ${\displaystyle w}$ als Ferngerade, dem Punkt ${\displaystyle O}$ als Nullpunkt eines Koordinatensystems mit den Punkten ${\displaystyle U,V}$ als Fernpunkte der x- bzw. y-Achse und dem Punkt ${\displaystyle E=(1,1)}$. Der affine Teil des Kegelschnitts ist dann die Hyperbel ${\displaystyle y=1/x}$ ^[7].

Bemerkung:

1. Die Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts hat konkrete praktische Bedeutung bei der Konstruktion von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln.
2. Die Figur zur Konstruktion eines Punktes (3. Bild) ist die 4-Punkte Ausartung des Satzes von Pascal.
3. Die Erzeugung der Parabel ${\displaystyle y=x^{2}}$ findet man in projektiver Kegelschnitt.

Dualisiert (s. Dualitätsprinzip) man einen nicht ausgearteten Kegelschnitt einer projektiven Ebene, so übernehmen die Tangenten die Rolle der Punkte:

Ein nichtausgearteter dualer Kegelschnitt besteht aus der Gesamtheit der Tangenten eines nichtausgearteten Kegelschnitts.

Auch ein dualer Kegelschnitt lässt sich nach der Steiner’schen Methode erzeugen:

• Hat man für zwei Punktreihen zweier Geraden ${\displaystyle u,v}$ eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung ${\displaystyle \pi }$ der einen Punktreihe auf die andere, so bilden die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte einen nicht ausgearteten dualen Kegelschnitt.

Unter einer perspektiven Abbildung ${\displaystyle \pi }$ einer Punktreihe einer Gerade ${\displaystyle u}$ auf die Punktreihe einer Geraden ${\displaystyle v}$ versteht man eine Bijektion (eineindeutige Zuordnung) der Punkte von ${\displaystyle u}$ zu den Punkten von ${\displaystyle v}$ so, dass die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte sich in einem festen Punkt ${\displaystyle Z}$ schneiden. ${\displaystyle Z}$ heißt das Zentrum der perspektiven Abbildung ${\displaystyle \pi }$ (s. Bild).

Unter einer projektiven Abbildung versteht man die Hintereinanderausführung endlich vieler perspektiver Abbildungen.

Die Gültigkeit der Erzeugung eines dualen Kegelschnitts ergibt sich aus dem Dualitätsprinzip für projektive Ebenen.

1: Zwei perspektive Abbildungen:
Gegeben: (1) Zwei Geraden ${\displaystyle u,v}$,
(2) eine perspektive Abbildung ${\displaystyle \pi _{A}}$ mit Zentrum ${\displaystyle A}$, die ${\displaystyle u}$ auf eine dritte Gerade ${\displaystyle o}$ abbildet, und
(3) eine perspektive Abbildung ${\displaystyle \pi _{B}}$ mit Zentrum ${\displaystyle B}$, die ${\displaystyle o}$ auf ${\displaystyle v}$ abbildet.

(4) Die Geraden ${\displaystyle AB}$ und ${\displaystyle o}$ dürfen nicht durch den Schnittpunkt ${\displaystyle W}$ der Geraden ${\displaystyle u,v}$ gehen !

Die Projektive Abbildung ${\displaystyle \pi =\pi _{B}\pi _{A}}$ der Punktreihe von ${\displaystyle u}$ auf die Punktreihe von ${\displaystyle v}$ ist nicht perspektiv. Damit ist für jeden Punkt ${\displaystyle X}$ die Gerade ${\displaystyle x={\overline {X\pi (X)}}}$ ein Element eines durch die Vorgaben bestimmten nicht ausgearteten dualen Kegelschnitts.

(Falls (4) nicht gilt, ist ${\displaystyle W}$ ein Fixpunkt und die Abbildung ${\displaystyle \pi }$ perspektiv ! ^[8])

2: Drei Punkte und ihre Bilder sind gegeben:
Das folgende Beispiel ist die Dualisierung des obigen Beispiels für die Steinererzeugung eines Kegelschnitts.
Die Bilder der Punkte ${\displaystyle A,U,W}$ sind vorgegeben: ${\displaystyle \pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V}$. Die projektive Abbildung ${\displaystyle \pi }$ lässt sich als Produkt (Hintereinanderausführung) der folgenden perspektiven Abbildungen ${\displaystyle \pi _{B},\pi _{A}}$ darstellen:

1) ${\displaystyle \pi _{B}}$ ist die perspektive Abbildung der Punktreihe von ${\displaystyle u}$ auf die Punktreihe von ${\displaystyle o}$ mit dem Zentrum ${\displaystyle B}$.

2) ${\displaystyle \pi _{A}}$ ist die perspektive Abbildung der Punktreihe auf ${\displaystyle o}$ auf die Punktreihe auf ${\displaystyle v}$ mit dem Zentrum ${\displaystyle A}$.

Man überzeugt sich, dass die projektive Abbildung ${\displaystyle \pi =\pi _{A}\pi _{B}}$ tatsächlich die behauptete Eigenschaft ${\displaystyle \pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V}$ besitzt. Damit lässt sich für jeden beliebigen Punkt ${\displaystyle G}$ das Bild ${\displaystyle \pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)}$ und damit beliebig viele Tangenten des Kegelschnitts konstruieren. Da durch den Punkt ${\displaystyle U}$ bzw. ${\displaystyle V}$ nur die Kegelschnittgerade ${\displaystyle u}$ bzw. ${\displaystyle v}$ geht, sind ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ Punkte des Kegelschnitts und die Geraden ${\displaystyle u,v}$ Tangenten in ${\displaystyle U,V}$.

1. ↑ Projektive Geometrie, Kurzskript, Uni Darmstadt (PDF; 180 kB), S. 16.
2. ↑ Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books: [1]), 2. Teil, S. 96 (in Google-PDF-Version auf S. 339).
3. ↑ Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie, Akad. Verl. Leipzig, 1965, S. 56
4. ↑ H. Lüneburg: Die euklidische Ebene und ihre Verwandten, S. 104.
5. ↑ W. Blaschke: Projektive Geometrie, S. 56
6. ↑ Projektive Geometrie, Kurzskript, Uni Darmstadt (PDF; 180 kB), S. 10.
7. ↑ Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. (PDF; 891 kB), S. 38.
8. ↑ H. Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie, BI, Mannheim, 1965, S. 49.