Satz von Schoenflies

Der im Jahre 1908 von Arthur Schoenflies bewiesene Satz von Schoenflies bildet ein wesentliches Bindeglied zwischen der Topologie und dem kombinatorischen Problem des Kartenfärbens (Vier-Farben-Satz). Anschaulich besagt er: Malt man eine geschlossene Kurve (ohne Überkreuzungen) auf ein Gummituch, dann kann man das Tuch so verziehen, dass aus der Kurve ein Kreis wird.

Satz

Es sei ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{2}}$ eine geschlossene Jordankurve und ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ bezeichne den Einheitskreis. Dann lässt sich jeder Homöomorphismus ${\displaystyle h\colon K\to S^{1}}$ zu einem Homöomorphismus ${\displaystyle H\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ fortsetzen.

Höhere Dimensionen

Die unmittelbare Verallgemeinerung des Satzes von Schoenflies auf höhere Dimensionen gilt nicht, da in drei Dimensionen Alexanders Sphäre (siehe^[1] und Weblink) ein Gegenbeispiel bietet.

Dagegen hat Morton Brown den Satz wie folgt verallgemeinert: Wird eine ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale Sphäre ${\displaystyle S}$ lokal flach in eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Sphäre ${\displaystyle S^{n}}$ eingebettet, so ist das Paar ${\displaystyle (S^{n},S)}$ homöomorph zu ${\displaystyle (S^{n},S^{n-1})}$, wobei ${\displaystyle S^{n-1}}$ der Äquator der ${\displaystyle n}$-Sphäre ist. (Dabei heißt eine Einbettung ${\displaystyle i:S^{n-1}\rightarrow S^{n}}$ lokal flach, wenn es eine Einbettung ${\displaystyle S^{n-1}\times \left[0,1\right]\rightarrow S^{n}}$ gibt, die auf ${\displaystyle S^{n-1}\times \left\{0\right\}=S^{n-1}}$ mit ${\displaystyle i}$ übereinstimmt.)

Dies gilt insbesondere für differenzierbar eingebettete Sphären, wo das Resultat als Satz von Mazur bekannt ist.

Folgerung

Der Satz von Schoenflies zieht unmittelbar den Jordanschen Kurvensatz nach sich: Die beiden disjunkten Gebiete, in die   ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus K}$   zerlegt wird, sind gerade  ${\displaystyle H^{-1}(\{x\in \mathbb {R} ^{2}:\|x\|_{2}<1\})}$  (das beschränkte Gebiet) und  ${\displaystyle H^{-1}(\{x\in \mathbb {R} ^{2}:\|x\|_{2}>1\})}$  (das unbeschränkte Gebiet).^[2]

Literatur

• Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of topology. Verlag Marcel Dekker, New York [u. a.] 1977, ISBN 0-8247-6331-9. 
• Morton Brown: A proof of the generalized Schoenflies theorem. In: Bulletin of the American Mathematical Society, 66, 1960, ISSN 0002-9904, S. 74–76, ams.org (PDF; 280 kB)
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264). 

Weblinks

• Eric Weisstein: Schoenflies Theorem. In: MathWorld (englisch).
• Alexanders „gehörnte Sphäre“ in der englischsprachigen Wikipedia

Einzelnachweise

1. ↑ Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of topology. Verlag Marcel Dekker, New York [u. a.] 1977, ISBN 0-8247-6331-9, S. 144. 
2. ↑ Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 150 (MR0533264).