Satz von Ryll-Nardzewski

Der Satz von Ryll-Nardzewski ist ein Satz aus der Modelltheorie, einem mathematischen Teilgebiet der Logik. Er charakterisiert ${\displaystyle \omega }$-kategorische Theorien. Benannt ist er nach dem polnischen Mathematiker Czesław Ryll-Nardzewski.

Satz von Ryll-Nardzewski

Sei ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ eine vollständige Theorie über einer abzählbaren Sprache. Mit ${\displaystyle S_{n}(T)}$ wird der Raum der vollständigen ${\displaystyle n}$-Typen bezeichnet.

Dann ist äquivalent:

• ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ist ${\displaystyle \omega }$-kategorisch.
• ${\displaystyle S_{n}(T)}$ ist für alle ${\displaystyle n}$ endlich.
• Bis auf ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Äquivalenz gibt es für jedes ${\displaystyle n}$ nur endlich viele Formeln ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

Weitere Äquivalenzen

Unter den gleichen Voraussetzungen wie beim Satz von Ryll-Nardzewski gilt, dass äquivalent ist:

• ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ist ${\displaystyle \omega }$-kategorisch.
• Jedes abzählbare Modell von ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ist saturiert.

Beispiele

Dichte Lineare Ordnung ohne Endpunkte

Sei ${\displaystyle M}$ ein Modell der Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte und

${\displaystyle A=\{a_{1},\ldots a_{n}\}\subset M}$

und ohne Beschränkung der Allgemeinheit

${\displaystyle i<j\Rightarrow a_{i}<a_{j}}$

Ein vollständiger Typ über ${\displaystyle A}$ wird entweder von einer Formel der Form:

${\displaystyle \phi _{j}(x):=x=a_{j}\ (1\leq j\leq n)}$

oder der Form

${\displaystyle \phi _{i,j}(x):=a_{i}<x<a_{j}\ (1\leq i<j\leq n)}$

erzeugt. Das lässt sich durch Quantorenelimination beweisen.

Die Menge der Typen ist endlich, die Theorie ist also ${\displaystyle \omega }$-kategorisch.

Theorie mit unendliche vielen Konstantensymbolen

Die Theorie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ über der Sprache ${\displaystyle \{c_{i}\mid i<\omega \}}$ mit den Axiomen ${\displaystyle \{c_{i}\neq c_{j}\mid i<j\}}$ hat abzählbar viele vollständige 1-Typen: Die von der Formel ${\displaystyle \phi _{i}:=x=c_{i}}$ erzeugten Typen sind die isolierten Typen, der von der Menge ${\displaystyle \{x\neq c_{i}\mid i<\omega \}}$ erzeugte Typ ist der einzige nicht-isolierte Typ. Die Theorie ist daher nicht ${\displaystyle \omega }$-kategorisch. (Sie ist aber ${\displaystyle \omega _{1}}$-kategorisch.)

Weblinks

• Martin Ziegler: Skript Modelltheorie 1. (PDF; 649 kB)

Literatur

• Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2
• Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5.
• Wilfrid Hodges: Model theory. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-30442-3.