Satz von Rouché

Der Satz von Rouché (nach Eugène Rouché) ist ein Satz aus der Funktionentheorie.

Er macht eine Aussage darüber, mit welchen Funktionen man eine holomorphe Funktion stören kann, ohne dass sich die Anzahl der Nullstellen ändert. Die Version für meromorphe Funktionen macht eine ähnliche Aussage für die Differenz von Nullstellen und Polstellen.

Der Satz von Rouché für holomorphe Funktionen

Seien zwei auf dem Gebiet holomorphe Funktionen. Außerdem sei die Kreisscheibe samt ihrem Rand in enthalten und für alle Punkte des Randes gelte:

.

Dann haben die Funktionen und gleich viele Nullstellen (entsprechend der Vielfachheit gezählt) auf .

Anmerkung: bezeichnet die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius r.

Symmetrische Version

Unter Abschwächung der Voraussetzungen gilt, dass zwei holomorphe Funktionen dieselbe Anzahl von Nullstellen innerhalb eines beschränkten Gebietes mit stetigem Rand haben, wenn auf dem Rand die strenge Dreiecksungleichung

gilt. Theodor Estermann zeigte diese allgemeinere Formulierung erstmals in seinem Buch Complex Numbers and Functions.

Anwendung: Schranken für Polynomnullstellen

Es sei ein Polynom mit komplexen Koeffizienten. Das Gebiet G ist die gesamte komplexe Zahlenebene. Es sei ein Index, für den die Ungleichung

für wenigstens ein erfüllt ist. Dann erfüllen die Funktionen und die Voraussetzungen des Satzes von Rouché für den Kreis . ist von Null verschieden und hat daher genau eine Nullstelle der Vielfachheit im Ursprung. Daraus folgt, dass auch genau Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt) im Kreis besitzt.

Der Satz von Rouché für meromorphe Funktionen

Seien zwei auf dem Gebiet meromorphe Funktionen. Außerdem gelte , sowie dass keine Null- oder Polstellen auf dem Rand haben; und für alle gelte:

.

Dann stimmen für und die Differenzen

Anzahl der Nullstellen – Anzahl der Polstellen

(entsprechend der Vielfachheit bzw. Polordnung gezählt) auf überein.

Beweis für meromorphe Funktionen

Definiere .

Nach Voraussetzung gilt:

.

Da die Kreislinie kompakt ist, gibt es sogar eine offene Umgebung dieser, so dass die Ungleichung auch auf U erfüllt ist. Der Bruch nimmt auf seine Werte innerhalb des Einheitskreises an, daher gilt auch:

.

Die offene Kreisscheibe ist im Definitionsbereich des Hauptastes des holomorphen Logarithmus enthalten, und es gilt:

.

Nun betrachtet man folgendes Integral:

.

Der Integrand hat eine Stammfunktion, also gilt:

.

Nach dem Argumentprinzip gilt in Erweiterung des Residuensatzes aber auch:

wobei die Anzahl der Nullstellen von auf und die Anzahl der Polstellen von auf bezeichnen.

Daraus folgt die Behauptung:

bzw.

Literatur

  • Michael Filaseta: Rouché's theorem for polynomials. Amer. Math. Monthly 97 (1990) No. 9, 834–835
  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl. Springer, Berlin 2006, ISBN 3540317643.