Satz von Radon

Der Satz von Radon (auch als Lemma von Radon bezeichnet^[1]) ist ein Lehrsatz der Konvexgeometrie, welcher auf den österreichischen Mathematiker Johann Radon zurückgeht. Der Satz steht in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Satz von Helly und ist über diesen mit anderen klassischen Sätzen der Konvexgeometrie verknüpft.^[2]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich in moderner Fassung wie folgt formulieren:^[3][4][5]

Gegeben seien eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ und dazu ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler, reeller Vektorraum ${\displaystyle V}$ sowie eine Teilmenge ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle V}$, welche aus mindestens ${\displaystyle n+2}$ Elemente bestehen soll.

Dann gilt:

${\displaystyle A}$ kann derart in zwei disjunkte Teilmengen ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$ zerlegt werden, dass deren konvexe Hüllen ${\displaystyle \operatorname {conv} A_{1}}$ und ${\displaystyle \operatorname {conv} A_{2}}$ sich in mindestens einem Punkte schneiden.

Historisches

Johann Radon formulierte und bewies den Satz 1921. Er hat aus ihm dann den Satz von Helly hergeleitet, welchen Eduard Helly bereits im Jahre 1913 gefunden und Johann Radon später mitgeteilt hatte.^[6][7][8]

Abgrenzung

Auf Johann Radon geht auch ein weiterer wichtiger Satz der Mathematik zurück, nämlich der Satz von Radon-Nikodým, welcher jedoch nicht der Konvexgeometrie zugerechnet wird, sondern der Maßtheorie.

Verallgemeinerung

Der Satz von Radon wurde von Helge Tverberg im Jahre 1966 zum Satz von Tverberg verallgemeinert.^[9]

Literatur

Originalarbeiten

• Johann Radon: Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten. In: Math. Ann. Band 83, 1921, S. 113–115. 

Monographien

• Steven R. Lay: Convex sets and their applications. John Wiley & Sons, New York u. a. 1982, ISBN 0-471-09584-2. 
• Victor L. Klee (Hrsg.): Convexity. Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, held at the University of Washington, Seattle, Washington, June 13–15, 1961. American Mathematical Society, Providence, RI 1963. 
• Arne Brøndsted: An introduction to convex polytopes. Springer-Verlag, New York u. a. 1983, ISBN 0-387-90722-X. 
• Peter M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-71132-2. 

Weblinks

• Günter M. Ziegler: 3N bunte Punkte in der Ebene (Über Birchs Vermutung und dem Satz von Tverberg). (PDF; 302 kB)
• Ivan Izmestiev: Einführung in die Konvexgeometrie. (PDF; 548 kB) FU Berlin, WS 03/04 (Skript)

Einzelnachweise

1. ↑ Vgl. ersten Weblink
2. ↑ Klee: S. 101 ff.
3. ↑ Brøndsted: S. 15
4. ↑ Gruber: S. 46 ff.
5. ↑ Klee: S. 103
6. ↑ Radon: S. 113
7. ↑ Klee: S. 101
8. ↑ Lay: S. 47
9. ↑ Siehe auch zweiten Weblink!