Satz von Quillen-Suslin

Der Satz von Quillen-Suslin, benannt nach Daniel Quillen und Andrei Suslin, ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der kommutativen Algebra. Er besagt, dass endlich erzeugte, projektive Moduln über gewissen Polynomringen frei sind.

Aussage des Satzes

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Hauptidealring. Dann ist jeder endlich erzeugte, projektive ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$-Modul frei.^[1][2]

Hauptidealring bedeutet hier, dass der Ring kommutativ, nullteilerfrei und jedes Ideal von einem Element erzeugt ist. ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ bezeichnet den Ring der Polynome in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten mit Koeffizienten aus ${\displaystyle R}$. Das umfasst damit die wichtigen Fälle des Polynomrings über einem Körper und über dem Ring der ganzen Zahlen.

Bemerkung

Auf die Kommutativität des Ringes ${\displaystyle R}$ kann nicht verzichtet werden, denn M. Ojanguren und R. Sridharan haben für nicht-kommutative Divisionsringe ${\displaystyle D}$ gezeigt, dass ${\displaystyle D[X_{1},X_{2}]}$ ein nicht-freies, projektives Ideal ${\displaystyle P}$ enthält, so dass ${\displaystyle D[X_{1},X_{2}]\oplus P\cong D[X_{1},X_{2}]\oplus D[X_{1},X_{2}]}$.^[3]

Historie

Das unten angegebene Lehrbuch Serre’s Problem on Projective Modules von Tsit Yuen Lam bietet eine umfassende Darstellung des Themenkreises um das Serre-Problem. Jean-Pierre Serre schrieb in einem 1955 erschienenen Artikel, dass es nicht bekannt sei, ob es für einen Körper ${\displaystyle K}$ endlich-erzeugte, projektive, nicht-freie ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$-Moduln gäbe.^[4] Diese Frage ist dann als Serre-Vermutung oder, in Abgrenzung zu einer anderen Serre-Vermutung, als Serre-Problem bekannt geworden. Es ist dann 1976 unabhängig von Daniel Quillen^[5] und von Andrei Suslin^[6] gelöst worden und nun als Satz von Quillen-Suslin bekannt.^[7] Für dies und weitere wesentliche Beiträge zur Ringtheorie, insbesondere zur algebraischen K-Theorie, hat Quillen 1978 die Fields-Medaille erhalten.

Einzelnachweise

1. ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz IV.3.15
2. ↑ Joseph J. Rotman: An Introduction to Homological Algebra, Academic Press 1979, ISBN 0-12-599250-5, Theorem 4.36
3. ↑ M. Ojanguren, R. Sridharan: Cancellation of Azumaya algebras, Journal of Algebra (1971), Band 18, Seiten 501–505, Proposition 1
4. ↑ Jean-Pierre Serre: Faisceaux algébriques cohérents, Annals of Mathematics (1955), Second Series, Band 61 (2), Seiten 197–278
5. ↑ Daniel Quillen: Projective modules over polynomial rings, Inventiones Mathematicae (1976), Band 36 (1), Seiten 167–171
6. ↑ Andrei A. Suslin: Проективные модули над кольцами многочленов свободны [Projektive Moduln über Polynomringen sind frei], Doklady Akademii Nauk SSSR (1976), Band 229 (5), Seiten 1063–1066
7. ↑ Tsit Yuen Lam: Serre’s Problem on Projective Modules, Springer-Verlag (2006), ISBN 3-540-23317-2, Introduction