Satz von Myers-Steenrod

Der Satz von Myers-Steenrod ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie.

Er besagt, dass die Isometriegruppe jeder vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit eine Lie-Gruppe ist. Ihre Dimension ist höchstens ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\dim(M)(\dim(M)+1)}$.

Der Satz stammt von Norman Steenrod und Sumner Byron Myers.

Beispiele

Die Isometriegruppe der Einheitssphäre ${\displaystyle S^{n}}$ ist die orthogonale Gruppe ${\displaystyle O(n+1)}$.

Die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene ist die projektive lineare Gruppe ${\displaystyle PGL(2,\mathbb {R} )}$. Die Isometriegruppe des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes ist ${\displaystyle PGL(2,\mathbb {C} )}$.

Beweisidee

In einer zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ wähle einen Punkt ${\displaystyle x}$ und seine Exponentialabbildung ${\displaystyle \exp _{x}\colon T_{x}M\to M}$. Die Bilder der 1-dimensionalen Unterräume in ${\displaystyle T_{x}M}$ unter der Exponentialabbildung sind genau die Geodäten durch ${\displaystyle x}$. Aus der Vollständigkeit von ${\displaystyle M}$ folgt mit dem Satz von Hopf-Rinow, dass jeder Punkt in ${\displaystyle M}$ auf einer solchen Geodäten durch ${\displaystyle x}$ liegt.

Wähle nun ${\displaystyle n=\dim(M)}$ linear unabhängige Vektoren in ${\displaystyle T_{x}M}$ und bezeichne mit ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ihre Bildpunkte unter ${\displaystyle \exp _{x}}$. Eine Isometrie bildet Geodäten in Geodäten ab und aus dem oben gesagten folgt, dass eine Isometrie durch die Bilder von ${\displaystyle x,p_{1},\ldots ,p_{n}}$ bereits eindeutig festgelegt ist.

Wir erhalten also eine Einbettung der Isometriegruppe ${\displaystyle \operatorname {Isom} (M)}$ in das Produkt von ${\displaystyle n+1}$ Kopien der Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Man kann zeigen, dass das Bild dieser Einbettung eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit und die Gruppenoperationen in dieser Mannigfaltigkeitsstruktur differenzierbar sind. Damit wird ${\displaystyle \operatorname {Isom} (M)}$ eine Lie-Gruppe.

Verallgemeinerung

Allgemeiner ist die Isometriegruppe eines ${\displaystyle RCD^{*}(K,n)}$-Raumes stets eine Lie-Gruppe.^[1][2] ${\displaystyle RCD^{*}(K,n)}$ sind eine Klasse metrischer Maßräume, die alle Riemannschen Mannigfaltigkeiten der Dimension ${\displaystyle \leq n}$ mit Ricci-Krümmung ${\displaystyle Ric\geq K}$ enthält und unter Gromov-Hausdorff-Konvergenz metrischer Maßräume abgeschlossen ist.

Literatur

• S. B. Myers, N. E. Steenrod: The group of isometries of a Riemannian manifold. Ann. of Math. (2) 40 (1939), no. 2, 400–416.

Einzelnachweise

1. ↑ L. Guijarro, J. Santos-Rodríguez: On the isometry groups of RCD*(K,N)-spaces, manuscripta mathematica 158, 441–461 (2018)
2. ↑ G. Sosa: The isometry group of an RCD*-space is Lie, Potential Analysis 49, 267–286 (2018)